1.5. Законы и теоремы электрических цепей
Анализ и синтез электрических цепей основан на основных законах и теоремах теории электрических цепей. Для их формулировки введены так называемые топологические элементы цепей (схем):
ветвь – незамкнутый участок цепи, содержащий элементы, на котором характеристики электрического тока не изменяются;
узел (неустранимый) – место электрического соединения трёх и более ветвей;
контур – любой замкнутый путь для электрического тока.
При расчётах дополнительно могут вводиться устранимые узлы, если требуется рассчитать напряжения в каких – то дополнительных точках схемы.
При анализе известными считаются величины источников энергии, пассивных элементов электрической цепи (схемы), а определяются значения токов и напряжений. Чтобы анализ не был привязан к конкретным носителям электрического заряда, как правило, считается, что электрический ток образован движением положительных зарядов. За положительное направление токов и напряжений на элементах принимается направление от "плюса" к "минусу" для цепей постоянного тока. Для цепей переменного тока ''подход'' аналогичный, только направления условно "привязываются" к одной из полуволн знакопеременного сигнала. Направление электродвижущей силы источника напряжения (внутреннее напряжение источника) совпадает с его направлением тока. Обозначения токов и напряжений, принятые в технической литературе, приведены в списке обозначений. При анализе, направления неизвестных токов и напряжений указываются случайным образом. Если в расчётах получились отрицательные значения токов и напряжений – случайно указанные направления не совпали с направлениями, принятыми в ТЭЦ за положительные.
Синтез – задача, обратная анализу, т.е. проектирование схемы, а затем и реальной цепи по требованиям к токам, напряжениям или иным параметрам.
Основными законами ТЭЦ считаются:
первый закон Кирхгофа (формулируется для узла);
второй закон Кирхгофа (формулируется для контура, или, в частном случае, для ветви):
закон Ома (формулируется для сопротивления или для сопротивления и источника ЭДС). Закон Ома является следствием второго закона Кирхгофа, хотя был открыт ранее.
Основными теоремами ТЭЦ считаются;
теорема наложения (принцип суперпозиции) – справедлива для линейных цепей и для ''линейного'' режима работы нелинейных цепей;
теорема об эквивалентном источнике энергии;
теорема взаимности (обратимости) – справедлива для взаимных цепей, для которых коэффициент передачи по току или напряжению одинаков в прямом и обратном направлениях;
теорема компенсации (замещения).
Первый и второй законы Кирхгофа являются, соответственно, следствием законов сохранения заряда и энергии. Теоремы электрических цепей доказываются законами Кирхгофа.
На эквивалентной схеме (рис. 1.11) указаны направления неизвестный токов, направления напряжений, направления обхода контуров. Известными считаются значения пассивных элементов и источников энергии.
Формулировка первого закона Кирхгофа:
Алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в узле, равна нулю. Одно из направлений токов при этом (например, к узлу) считается положительным. Например, для первого узла (рис. 1.11):
+ - = 0. (1.7)
Формулировка второго закона Кирхгофа:
В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма мгновенных значений ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на пассивных элементах.
(1)
+
1k 2k
+
(0)
Рис 1.11
Величина при составлении уравнения считается положительной, если её направление совпадает с выбранным направлением обхода. Например, для первого контура (рис 1.11):
= - = - . (1.8)
Формулировка закона Ома для сопротивления: мгновенное значение падения напряжения на сопротивлении прямо пропорционально мгновенному значению величины тока и сопротивлению. Например, для сопротивления (рис 1.11):
. (1.9)
Для участка цепи с источником ЭДС (рис.1.11, левая ветвь схемы ) закон Ома для указанных направлений величин принимает вид:
. (1.10)
Формулировка теоремы наложения:
Мгновенное значение тока или напряжения в любой ветви линейной электрической цепи от нескольких источников энергии, действующих в цепи, может быть найдено алгебраическим суммированием мгновенных значений токов или напряжений, от источников энергии, взятых в отдельности.
При использовании для анализа теоремы наложения последовательно исключаются все источники энергии, кроме одного (ветви с источником тока размыкаются, а идеальные источники напряжения замыкаются перемычками). Например, у схемы на рисунке 1.10 вначале оставляется источник , затем – .
Формулировка теоремы об эквивалентном источнике энергии:
Для определения тока или напряжений в произвольной ветви электрической цепи оставшаяся часть может быть заменена эквивалентным источником ЭДС ( ) с последовательным сопротивлением ( ) или эквивалентным источником тока ( ) с параллельным сопротивлением ( ). Параметры эквивалентных источников энергии определяются как:
, (1.11)
, (1.12)
, (1.13)
где индексом " ", " " означают режимы холостого хода и короткого замыкания на клеммах, к которым подключена анализируемая ветвь.
Формулировка теоремы взаимности:
Если измеряется (анализируется ) ток в произвольной ветви взаимной цепи от источника напряжения, находящегося в другой ветви, то результат не изменится, если источник электрической энергии и измерительный прибор поменять местами.
Перечисленные законы и теоремы цепей можно использовать при анализе и при экспериментальных исследованиях. В анализе (особенно при использовании программных средств) также используется теорема замещения, согласно которой пассивные радиоэлементы могут быть заменены управляемыми источниками электрической энергии. Это следует непосредственно из закона Ома, который устанавливает связь тока и напряжения с величиной сопротивления.
- Электрические цепи.
- Анализ и синтез
- Учебное пособие
- Омск – 2004
- Содержание
- Список обозначений и сокращений
- 1. Основные задачи теории электрических цепей. Основные законы и теоремы
- 1.1. Общие сведения
- 1.2. Реальные радиоэлементы и их идеализированные модели
- 1.3. Схемы замещения реальных элементов моделями
- 1.4. Классификация электрических цепей
- 1.5. Законы и теоремы электрических цепей
- Контрольные задания
- 2. Анализ линейных цепей постоянного тока в установившемся режиме по эквивалентным схемам
- Общие сведения и математический аппарат
- 2.2. Методы анализа, использующие преобразования сопротивлений
- 2.3. Методы анализа, использующие законы Кирхгофа
- 1.4. Методы анализа, использующие теоремы цепей
- 2.5. Дополнительные преобразования и расчеты
- 2.6. Контрольные задания
- 3. Анализ линейных цепей гармонического тока в установившемся режиме по эквивалентным схемам. Общие принципы анализа
- 3.1.Общие сведения и математический аппарат
- 3.2. Анализ цепей гармонического тока методом векторных треугольников
- Анализ линейных цепей гармонического тока с использованием комплексного преобразования (методом комплексных амплитуд)
- Конкретные методы анализа с использованием комплексных амплитуд сигналов. Принцип анализа
- Мощность в цепи гармонического тока
- Контрольные задания
- 4. Комплексные частотные характеристики линейных электрических цепей. Колебательные контуры
- 4.1. Общие сведения и математический аппарат
- 4.2. Анализ частотных характеристик электрических цепей 1-го и 2-го порядка
- 4.3 Резонансные явления в электрических цепях
- 4.4. Последовательный колебательный контур
- Из (4.28) следуют условия для граничных частот полосы пропускания
- 4.5. Параллельный колебательный контур первого (основного) вида
- 4.6. Параллельные колебательные контуры второго, третьего и общего видов
- 4.7. Контрольные задания
- 5. Линейные электрические цепи с негальваническими связями при гармоническом воздействии
- 5.1. Общие сведения и математический аппарат
- 5.2. Анализ электрических цепей с автотрансформаторной связью
- 5.3. Анализ эквивалентной схемы линейного трансформатора с апериодическими нагрузками
- Выражение (5.17) с учетом выражений (5.15), (5.16) преобразуется к виду
- 5.4. Анализ колебательных контуров с трансформаторной связью
- 5.5. Контрольные задания
- 6. Линейные электрические цепи при сложных периодических воздействиях
- 6.1. Общие сведения и математический аппарат
- 6.2. Анализ спектра импульсной последовательности
- 6.3. Анализ линейной цепи при сложном периодическом воздействии
- 6.4. Контрольные задания:
- 7. Переходные процессы в линейных электрических цепях (анализ импульсных воздействий)
- Общие сведения и математический аппарат.
- 7.1. Классический метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях
- 7.3 Частотный метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях
- 7.4. Операторный метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях.
- 7.5. Временной метод анализа переходных процессов
- 7.6 Дифференцирование и интегрирование сигналов электрическими цепями
- 7.7 Контрольные задания
- 8. Введение в анализ нелинейных электрических цепей в установившемся режиме
- 8.1. Общие сведения и математический аппарат
- 8.2. Расчёт нелинейных резистивных цепей по постоянному току
- 8.3. Анализ нелинейной цепи в режиме "малых" переменных сигналов
- 8.3. Аппроксимация вах нелинейных резистивных радиоэлементов
- Принцип составления и решения нелинейных уравнений
- 8.5. Анализ спектра выходного сигнала в нелинейных электрических цепях
- Контрольные задания
- 9. Анализ электрических цепей в установившемся режиме методами теории линейных четырехполюсников
- 9.1. Общие сведения и математический аппарат
- 9.2. Системы уравнений линейных четырехполюсников
- 9.3. Расчёты первичных параметров четырёхполюсников по эквивалентным схемам
- Соединение простых четырёхполюсников в сложные. Обратные связи в активных четырёхполюсниках
- Контрольные задания:
- 10. Синтез линейных электрических цепей
- 10.1. Общие сведения.
- Коэффициенты передачи фильтров:
- 10.2. Синтез фильтров по характеристическим параметрам
- 10. 3. Синтез фильтров по рабочим параметрам
- Решение. Выберем для аппроксимации выражение
- 10. 4. Контрольные задания
- Библиографический список.
- Приложения