3.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси, его момент инерции и кинетическая энергия.

Моментом инерции системы (тела) отно­сительно оси вращения называется физи­ческая величина, равная сумме произведе­ний масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматри­ваемой оси:

.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

,

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с коорди­натами х, у, z.

Если ось, относительно которой вычисляется момент инерции, проходит через центр симметрии тела, то вычисление такого интеграла представляет сравнительно несложную задачу, но в общем случае задачу решить трудно. Для упрощения вычислений полезной оказывается теорема о параллельном переносе осей инерции (теорема Гюйгенса - Штейнера), формулировка которой гласит, что момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями, т.е.

.

Моменты инерции некоторых тел:

Вычислим кинетическую энергию вращающегося тела. Кинетическая энергия одной частицы вращающегося тела массой , движущейся со скоростьюпо окружности радиусом, равна

,

где - момент инерции частицы,- угловая скорость вращения тела. Тогда энергия вращающегося тела

.