3.1.Общие сведения и математический аппарат

Исходные моменты анализа:

• реальные элементы электрических цепей или идеализированные элементы эквивалентных схем являются линейными;

• в электрической цепи и ее модели не происходит переключений, т.е. гармонические сигналы длятся неограниченно долго;

• источники гармонических колебаний имеют одну и ту же частоту.

Примеры линейных цепей гармонического тока: делители напряжения и тока, фазовращатели, колебательные контуры, цепи с трансформаторной связью, электрические фильтры, усилители в ''линейном'' режиме.

Гармонические сигналы формируются генератором гармонических колебаний и применяются в качестве управляющих или ''несущих'' колебаний. В теории электрических цепей для записи гармонических сигналов чаще используется тригонометрическая функция ''косинус'', например,

, (3.1)

где - амплитуда сигнала;

( ) - полная фаза сигнала;

- начальная фаза сигнала;

- циклическая частота, рад/с;

- текущая частота, Гц;

- период колебаний.

Для сравнения с источниками постоянного тока введено ''действующее значение'' переменного сигнала, по тепловому действию аналогичное действию постоянного тока

. (3.2)

В ''действующих значениях'' калибруется большинство измерительных приборов, измеряющих токи или напряжения переменных сигналов.

Математический аппарат, используемый в данном разделе для расчетов или пояснения принципов анализа, следующий:

• начальные основы дифференцирования и интегрирования, например:

• операции с комплексными числами. В математике комплексные числа и комплексная плоскость введены при решении алгебраических уравнений. Например, корни уравнения

где (''жи'') - мнимая единица ( = - 1).

Полученные выражения для корней уравнения называются комплексными числами, состоят из действительной и мнимой части и могут быть изображены на комплексной плоскости (рис. 3.1).

Рис. 3.1

На рисунке 3.1 комплексные числа представлены в алгебраической форме записи. В расчетах также используется экспоненциальная форма записи через ''модуль'' (гипотенузы треугольников на рис. 3.1) и ''аргумент'' (углы наклона на рис.3.1).

формулы Эйлера, полезные для преобразований :

(3.3)

комплексное (символическое) преобразование гармонических сигналов:

(3.4)

Выражение (3.4) позволяет заменить временные функции символами (комплексными числами), а затем - решать алгебраические уравнения.

Обратный переход к временной функции осуществляется с помощью формул Эйлера (3.3), причем, берется реальная часть величин

(3.5)