5.6. Колебания математического и физического маятников

Из школьного курса физики известно, что математический маятник представляет собой точечную массу, подвешенную на длинной невесомой и нерастяжимой нити. На первый взгляд раскачивание такой системы связано с изменением по меньшей мере двух координат сразу так, что для описания такого движения надо записывать второй закон Ньютона для каждой из координат в отдельности, а затем искать связь между ними. Однако задача может быть упрощена, если обратить внимание на то, что движение математического маятника происходит при постоянной длине нити подвеса, т.е. его можно рассматривать как частный случай вращательного движения, когда в качестве единственной переменной выбирается угол отклонения от положения равновесия. В этом случае вместо уравнения движения в форме второго закона Ньютона необходимо использовать основное уравнение динамики вращательного движения:

I, (5-32)

где I - момент инерции точечной массы относительно точки подвеса, М - момент всех внешних сил, действующих на эту массу, и - угловое ускорение массы, которое, в свою очередь, определяется как вторая производная по времени от углаj отклонения от вертикали (рис.5.9).

, (5-33)

или после сокращения обеих частей на величину ml :

. (5-34)

Знак минус в уравнениях (5-33) и (5-34) появился потому, что направление отсчета угла j взято против часовой стрелки, тогда как момент силы тяжести стремится повернуть маятник по часовой стрелке.

Для малых углов отклонения j синус угла можно разложить в ряд Тэйлора по малому параметру j:

f (x) = f (0) +

Поскольку sin 0 = 0, то в разложении синуса исчезнут члены, содержащие f(0) и

вторую производную и синус углаj равен:

sin j = j -

Даже для углов отклонения около 30⁰, т.е. 0,5 рад ( в математике угол обычно измеряется в радианах; один радиан » 57⁰), вторая поправка в разложении синуса дает величину, чуть большую двух процентов, поэтому с достаточной степенью точности функцию синуса можно заменить его аргументом так, что уравнение (5-34 ) приобретает такой вид:

, (5-35)

что полностью совпадает с уравнением движения груза на пружине. Поэтому нетрудно придти к заключению, что частота колебаний математического маятника определится так же, как частота собственных колебаний груза на пружине:

. (5-36)

Частота собственных колебаний физического маятника равна:

W = . (5-38)