6.3. Упругие волны в твердом теле

Пусть имеется однородный стержень. Направим ось Х вдоль стержня и выберем два сечения стержня, координаты которых (рис.6.2) равны х₁ и х ₂ соответственно так, что между ними оказывается отрезок стержня длиной l₀ = x₂ - x₁= Dх . Под действием вне-шних сил в стержне произойдут упругие деформации, так что в новом - деформированном состоянии- выбранные сечения имеют координаты (х₁+x₁) и ( х₂+x₂ ), т.е. первое сечение сместилось на величину x₁, а второе- на x₂. Длина выбранного отрезка теперь равна (х₂+x₂) - (х₁+x₁)=l₀ +(x₂- x₁) = l₀ + Dl, поэтому величина относительной деформации отрезка равна:

e = =. (6-4)

Чтобы написать уравнение движения для выделенного отрезка стержня необходимо вычислить вторую производную смещения по времени. Как видно из выражения (6-1), выражение для распространяющейся волны зависит от двух переменных, поэтому вычисление производной от функции f (x,t) должно происходить несколько иначе, чем в случае одной переменной. Производную от функции f (x,t) по одной из двух переменных можно вычислять так же, как и в случае функции одной переменной, считая вторую переменную при этом постоянной, но эта производная называется частной производной. Например, если f(x,y)= x⁵ y ⁵, то x⁴ y⁵, x⁵ y⁴ ( здесь и далее наклонные ¶ означают знак частной производной).

С учетом этого для бесконечно малого отрезка величина относительной деформации получается формальным предельным переходом к бесконечно малым величинам. Тогда уравнение ( 9-10 ) приобретает такой вид:

e =(6-5)

Если по стержню распространяется продольная упругая волна, то в нем действуют попеременно внутренние силы растяжения и сжатия. Выбирая длину отрезка достаточно малой можно добиться, чтобы на его концы действовали одинаковые силы - сжатия или растяжения. Пусть для определенности это будут силы растяжения f₁ и f₂ (рис.6.2). Второй закон Ньютона для элемента длины Dх можно написать, используя теорему о движении центра масс:

D. (6-6)

Силы упругого растяжения представляем с помощью закона Гука:

e = , (6-7)

где Е - модуль упругости модуль Юнга), S - площадь сечения стержня, а - величина относительной деформации. Величинаs = f/S называется упругим напряжением; масса Dm = rSDx , где r - плотность стержня. Если смещение центра масс x_ц.м. , то уравнение (6-6) становится таким:

rSDx.

Деля обе части последнего равенства на на величину объема SDx, получаем:

. При переходе к бесконечно малым величинам последнее уравнение становится уравнением для производных:

. (6-8)

Правую часть (6-8) выразим через закон Гука (6-7), переходя к бесконечно малым элементам :

s = eЕ = Е;.

С учетом последнего соотношения из (6-8) получаем:

. (6-9)

Соотношение (6-9) называется волновым уравнением. Хотя оно получено для частного случая продольных упругих волн, оно имеет достаточно общий вид. Его можно получить сравнением вторых производных любой функции по координате и времени соответственно, если эта функция зависит от аргумента вида a = t -. Опуская математические действия, получим

=,

откуда следует, что скорость распространения продольных упругих волн равна:

.

Таким образом, решением волнового уравнения являются функции от аргумента a=t-. Эти функции характеризуют плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х.