2.6. Реактивное движение. Уравнение движения тела переменной массы.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ра­кеты уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела пе­ременной массы на примере движения ра­кеты. Если в момент времени t масса раке­ты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m-dm, а скорость станет равной . Изменение импульса систе­мы за отрезок времениdt

где — скорость истечения газов относи­тельно ракеты. Тогда

(— малый высшего порядка малости по сравнению с осталь­ными).

Если на систему действуют внешние силы, то , поэтому

,

, (2-9)

где - реактивная сила.

Если противоположен, то ракета ускоряется, а если совпадает с, то тормо­зится.

Таким образом, мы получили уравне­ние движения тела переменной массы

. (2-10)

Это уравнение впервые было выведено И. В.Ме­щерским (1859—1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказы­валась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854—1881). К.Э.Циолковский (1857— 1935) в 1903 г. опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и ос­новы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основате­лем отечественной космонавтики.

Применим уравнение (2-10) к движе­нию ракеты, на которую не действуют ни­какие внешние силы. Полагая и счи­тая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

.

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ра­кеты равна нулю, а ее стартовая масса то, . Следовательно,

. (2-11)

(2-11) называется формулой Циолковского. Из этой формулы следует, что: 1) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса ракеты; 2) чем больше скорость истече­ния газов, тем больше может быть ко­нечная масса при данной стартовой массе ракеты.