Сохранение углового момента

Производная момента импульса по времени есть момент силы:

Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:

где  — момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).

Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол , радиус-вектор частицы с номером изменятся на , а скорости — . Функция Лагранжа системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

С учетом , где  — обобщенный импульс -той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде

Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения, совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:

где,  — момент импульса системы. Ввиду произвольности δφ, из равенства следует .

На орбитах момент импульса распределяется между собственным вращением планеты и момента импульса ее орбитального движения: