Доказательство

• Вероятно, учитывая некоторые подводные камни, отмеченные в примечаниях, в доказательстве из учебника Ландау, приводимом ниже, проще всего сначала получить в явном виде преобразования Лоренца, из которых инвариантность интервала элементарно следует.

Сначала покажем, что если интервал между двумя событиями равен нулю в одной ИСО, то он равен нулю в любой ИСО. Действительно, пусть в ИСО K событие 1 произошло в точке x₁,y₁,z₁ в момент времени t₁, а событие 2 — в точке x₂,y₂,z₂ в момент t₂. По условию интервал между ними равен 0, то есть

Это значит, что если из точки 1 испустить в точку 2 сигнал, движущийся со скоростью света, то он окажется в точке 2 через время t₂ − t₁. Но, из-за инвариантности скорости света, для событий 1 и 2, рассматриваемых в системе отсчёта K', можно записать аналогично

Это и доказывает, что равенство интервала нулю не зависит от ИСО.

Для дальнейшего вспомним, что мы рассматриваем интервал между бесконечно близкими событиями, следовательно, он должен быть бесконечно малой величиной. В силу однородности и изотропности пространства и однородности времени при смене ИСО новый интервал может быть лишь функцией старого интервала и скорости новой ИСО в старой ИСО, он не может зависеть от координат точки или момента времени. При смене ИСО к интервалу не может прибавляться слагаемое, не зависящее от интервала в старой ИСО, так как если в одной ИСО интервал равен 0, то и в другой ИСО он тоже 0. Значит, оба интервала будут бесконечно малы. Так как интервалы бесконечно малы, то они должны быть пропорциональны, как бесконечно малые одного порядка, учитывая, что один из них обращается в ноль тогда и только тогда, когда и второй, как мы уже выяснили вначале. Значит, при смене ИСО интервал преобразуется по правилу

В силу изотропности пространства k не может зависеть от направления скорости, только от ее модуля.

Это означает, что рассмотрев изменение интервала при переходе от системы 1 к системе 2, а потом обратно, учитывая, что V одинаково для прямого и обратного преобразования из изотропности пространства и принципа относительности (вторая система выглядит из первой ничем не отличимо от того, как первая система выглядит из второй), имеем

а следовательно (так как ds₁ = ds₁)

 — для любого V.

Осталось отбросить случай K = −1. Это можно сделать рассмотрев три ИСО и изменение интервала между ними. Делая последовательный переход от первой СО к третьей, через вторую, имеем

а для прямого перехода сразу из первой в третью

отсюда видно, что K² = K, и следовательно остается лишь вариант

 — для любого V,

и интервал не меняется при смене ИСО.

В заключение можно заметить, что из инвариантности бесконечно малых интервалов следует и инвариантность конечных, так как последние получаются простым интегрированием бесконечно малых.