Определение

Квадрат интервала — это симметричная билинейная форма на конфигурационном 4-мерном многообразии пространства-времени. При должным образом выбранных координатах (галилеевых — локально инерциальная система отсчета с декартовыми пространственными координатами и временем ) для бесконечно малого смещения в пространстве-времени он имеет вид:

(локально псевдоевклидово пространство-время, пространство Минковского в главном порядке, иначе говоря — многообразие с индефинитной псевдоримановой метрикой сигнатуры (+---)).

В случае плоского пространства-времени — то есть пространства времени без кривизны, к которому в современной физике относится случай отсутствия (или пренебрежимой малости) гравитации — такое же выражение имеет место и для конечных разностей координат:

(такое пространство уже точно и глобально является пространством Минковского, если, конечно, топологически оно эквивалентно в своей естественной топологии).

Обычно интервал обозначается латинской буквой .

В общей теории относительности используется обобщённое понятие интервала, дающее естественное обобщение расстояния между двумя точками. Вводится метрический тензор g_ik, от которого требуется лишь симметричность и невырожденность. Выражение для квадрата интервала между двумя бесконечно близкими точками приобретает вид:

,

где dxⁱ — дифференциалы координат, и по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, то есть это выражение означает

.

Обратим внимание, что таким образом определённая метрика не будет положительно определённой квадратичной формой, как обычно требуется в случае собственно римановых многообразий. Напротив, подразумевается, что всегда или почти всегда локально могут быть так выбраны пространственно-временные координаты (система отсчета), что интервал для малой области пространства-времени в этих координатах запишется так же, как он записывается для лоренцевских координат (систем отсчета) в плоском пространстве Минковского:

,

так что через точку пространства-времени проходит бесконечно много линий, имеющих нулевую «длину» (при определении длины в пространстве-времени через его «физическую метрику» — то есть, как интеграл от ) — образующих световой конус; бесконечно много линий, длина которых вещественна — они все во внутренней области светового конуса; и бесконечно много тех, длина которых чисто мнима — вблизи данной точки они все во внешней области светового конуса с вершиной в ней, если они гладки.

• Знак квадрата интервала — предмет соглашения. Он может быть выбран (и исторически был) противоположным. В наше время, пожалуй, чаще используется выбор знака как выше в этой статье. Однако иногда противоположный удобнее, если используется введённая Минковским и нередко удобная интерпретация временной координаты как чисто мнимой.

• Нумерация координат xⁱ — также предмет соглашения, однако в современной литературе чаще всего они нумеруются как и здесь — от 0 до 3, причём временной координате приписывается индекс 0.

• В теоретических построениях, использующих пространство-время большей размерности, определение интервала естественным образом обобщается добавлением в сумму ещё некоторого количества пространственных координат. При этом чаще всего (хотя не всегда) предполагается, что временная координата остаётся единственной, то есть обычно только одно слагаемое входит со знаком, противоположным всем остальным.

• Многообразие с заданным на нём невырожденным интервалом (или, другими словами, невырожденной метрикой) называется псевдоримановым, точнее — собственно псевдоримановым, чтобы подчеркнуть отличие от риманова многообразия, в котором метрика — в отличие от интервала — положительно определённая, как и обычное евклидовское расстояние.

• Определения интервала несколько различаются в специальной и общей теории относительности. Это связано с тем, что интервал между двумя произвольными точками пространства-времени Минковского можно ввести, не сталкиваясь с трудностями, как длину соединяющей их прямой линии (геодезической), как это и сделано выше. Однако для общего вида искривлённого пространства-времени этого уже сделать так просто нельзя, так как точки могут соединяться несколькими различными геодезическими (или даже бесконечным их числом). Поэтому интервал в общей теории относительности определяют обычно в бесконечно малой окрестности заданной точки, где исходящие из неё различные геодезические ещё не пересекаются, а расстояние по геодезическим линиям от одной точки до другой называют мировой функцией.