Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике

Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия: , где α-положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО) , подставляя в интеграл движения, находим: . Но, с другой стороны, интеграл движения, можно выразить через функцию Лагранжа: . Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть:

.

Далее, разложим последнее выражение по степеням , получим:

, первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа: , нетрудно определить константу α:

α = mc. Таким образом, окончательно получаем вид функции Лагранжа свободной частицы:

.

Рассуждения, приведенные выше, можно рассматривать не только для частицы, но и для произвольного тела, лишь бы его части двигались как одно целое.