15.Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

1.Стационарное течение идеальной жидкости.

Течение жидкости представляет собой поле скоростей, изображенное с помощью линий тока. Если поле скоростей, то есть форма и расположение соответствующие ему линии тока не меняются с течением времени, то движение жидкости называется стационарным или установившимся.

2.Уравнение Бернулли.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S₁ и S₂, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47).

П усть в месте сечения S₁ скорость течения v₁, давление p₁ и высота, на которой это сечение расположено, h₁. Аналогично, в месте сечения S₂ скорость течения v₂, давление p₂ и высота сечения h₂. За малый промежуток времени t жидкость перемеща­ется от сечения S₁ к сечению , от S₂ к .

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E₂—E₁ идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

E₂ – E₁ = А, (30.1)

где E₁ и E₂ — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁ и S₂ соответст­венно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S₁ и S₂, за рассматриваемый малый промежуток времени t. Для перенесения массы m от S₁ до жидкость должна переместиться на расстояние l₁=v₁t и от S₂ до — на расстояние l₂=v₂t. Отметим, что l₁ и l₂ настоль­ко малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, приписывают постоянные значения скорости v, давления р и высоты h. Следовательно,

А = F₁l₁ + F₂l₂, (30.2)

где F₁=p₁S₁ и F₂= – p₂S₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противополож­ную течению жидкости; рис. 47).

Полные энергии E₁ и E₂ будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

(30.3)

(30.4)

Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим

(30.5)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (30.5) на V, получим

где р — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

(30.6)

Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опуб­ликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Из уравнения Бернулли следует, что при увеличении скорости течения (уменьшении сечения трубы) динамическое давление жидкости возрастает, а ее статическое давление уменьшается. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к устано­вившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.