3.2. Цикл Карно

     В 1824 году французский физик и военный инженер Никола Леонард Сади Карно (1796 - 1832) опубликовал свою работу "Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу", в которой им были сформулированы основные положения теории тепловых машин и впервые предложено второе начало термодинамики. Но только в 1834 году, после придания Клапейроном этой теории доступной математической формы, идеи Карно получили широкое распространение для обоснования второго начала термодинамики.

     При работе тепловой машины рабочее тело совершает замкнутый термодинамический цикл. Для любой реальной тепловой машины весь цикл, включая его отдельные процессы, необратим, что вызывает необходимость затрачивать часть произведенной работы для перевода рабочего тела в первоначальное состояние, обеспечивая замыкание кругового процесса. Указанные потери приводят к тому, что не вся произведенная работа становится полезной, а часть её теряется в самой тепловой машине, переходя в теплоту.

     Максимальным к.п.д. обладает тепловая машина, в которой цикл рабочего тела состоит только из равновесных тепловых процессов, и, следовательно, является обратимым. Однако для осуществления нагревания и охлаждения необходим теплообмен рабочего тела с нагревателем и холодильником тепловой машины, который тем более эффективен, чем заметнее разность температур. Возникающие при этом тепловые потоки нарушают состояние теплового равновесия и делают эти процессы необратимыми. Чтобы избежать этого, необходимо теплообмен осуществлять при очень малой разности температур, в пределе, для достижения равновесного процесса, при бесконечно малой разности. Поэтому реализовать равновесный процесс при теплообмене можно только в случае теплового равновесия рабочего тела и нагревателя (или холодильника).

     Таким образом, теплообмен с нагревателем и холодильником в рассматриваемой тепловой машине должен происходить при изотермических процессах, что эквивалентно требованию бесконечной медленности протекания этих процессов. Очевидно, что такое условие может быть выполнено только приближенно.

     Другой процесс, который может протекать без возникновения тепловых потоков - это адиабатический процесс. Если он протекает бесконечно медленно, то такой процесс является равновесным и обратимым.

     Указанные два равновесных процесса (изотермический и адиабатический) могут быть использованы для составления обратимого цикла. Такой обратимый круговой процесс в принципе может состоять из большого, в пределе даже бесконечного, числа следующих друг за другом изотермических и адиабатических процессов. Однако, для организации простейшего кругового процесса достаточно использования двух изотерм и двух адиабат. Такой равновесный термодинамический цикл получил название цикла Карно. Возможность осуществления такого циклического процесса связана с тем, что с помощью адиабатического процесса всегда возможен переход между любыми изотермами, а с помощью изотермического - между любыми адиабатами.

     Составленный таким образом цикл имеет для термодинамики такое же существенное значение, как и материальная точка в механике. Любой квазиравновесный процесс может быть аппроксимирован большим числом таких элементарных циклов. Подобно тому, как в механике вопрос о возможности считать тело материальной точкой решается в зависимости от условий конкретной задачи, так и в термодинамике вопрос о том, является ли циклический процесс квазиравновесным или нет, зависит от условий той задачи, которую необходимо решить.

     Очевидно, что между телами, находящимися при одинаковых температурах и, следовательно, в состоянии теплового равновесия, не может происходить теплообмен. Из этого следует, что если считать процессы строго изотермическими, то при их протекании рабочее тело не должно нагреваться от нагревателя и охлаждаться холодильником. То есть в циклическом процессе, состоящем из двух изотерм и двух адиабат, не может происходить передача теплоты между нагревателем (или холодильником) и рабочим телом. Однако, на примере такого простейшего идеального цикла (аналогично тому, как это делается в механике на примере материальной точки) можно изучить основные законы термодинамики, произвести их анализ.

     Обратимый цикл Карно состоит из двух изотерм, описывающих процесс теплопередачи от нагревателя к рабочему телу и от рабочего тела к холодильнику, и двух адиабат, описывающих расширение и сжатие рабочего тела в тепловой машине (см. рис. 3.7). Температура нагревателя считается равной , а температура холодильника - соответственно. При этом температуры нагревателяи холодильникапостоянны, что должно обеспечиваться бесконечно большой теплоемкостью используемых тепловых резервуаров.

     При первом изотермическом процессе 1-2 происходит передача рабочему телу теплоты , причем эта теплота передается бесконечно медленно, при практически нулевой разнице температуры между нагревателем и рабочим телом. Далее рабочее тело подвергается адиабатическому расширению без теплообмена с окружающей средой (процесс 2-3). При последующем изотермическом процессе 3-4 холодильник забирает у рабочего тела теплоту. Процесс 4-1 представляет собой адиабатическое сжатие, переводящее рабочее тело в первоначальное состояние.

     Рассчитаем к.п.д. цикла Карно в случае, если в качестве рабочего тела используется идеальный газ, масса которого равна . Уравнение адиабаты для переменных температураи объемимеет вид (см. формулу(2.86)):

     Применение этого уравнения к процессам 2-3 и 4-1 позволяет получить условия

     Деление выражения (3.7) на (3.8) дает

     Учитывая, что процессы 1-2 и 3-4 являются изотермическими и, следовательно, происходят без изменения внутренней энергии газа, для получаемой и отдаваемойтеплоты на основании первого начала термодинамики(1.4) и формулы (2.116) можно записать

     Подстановка полученных выражений в формулу (3.2) дает выражение

     которое, в свою очередь, с учетом соотношения (3.9), преобразуется к виду:

     Полученное выражение позволяет определить коэффициент полезного действия цикла Карно обратимой тепловой машины, если в ней в качестве рабочего тела используется идеальный газ. Из приведенных формул следует, что к.п.д. такой тепловой машины всегда меньше единицы и полностью определяется температурами нагревателя и холодильника.

     Задача 3.3. Рассчитать к.п.д. холодильной машины и теплового насоса, в которых реализован термодинамический цикл Карно, а в качестве рабочего тела взят идеальный газ.

     Решение: Подстановка в формулу (3.3), определяющую к.п.д. холодильной машины, выражений для отданной теплоты из (3.10) и для подведенной теплоты из (3.11) дает:

.

     Далее с учетом формулы (3.9) имеем окончательное выражение для к.п.д. холодильной машины:

.

     Из формулы (3.4) следует, что к.п.д теплового насоса, рабочим телом которого является идеальный газ, равен:

     и обратно пропорционален к.п.д. идеального теплового двигателя.

     Таким образом, к.п.д. идеального теплового насоса всегда больше единицы и возрастает при приближении температуры окружающей среды к температуре нагреваемого помещения .