3.2. Распределение молекул по скоростям

Так как тепловое движение — хаотическое (беспорядочное), то скорости молекул имеют всевозможные случайныезначения, различающиеся по величине и направлению (имеют всевозможные проекции, например, на осьх). До сих пор удавалось обходиться среднеквадратичной скоростью, главное свойство которой заключалось в том, что кинетическая энергия, пропорциональная среднему квадрату скоростиV², сама прямо пропорциональна температуреТ. Для одной молекулы (массойт₀) двухатомного газа

(3.3)

где

(3.4)

Напомним, эта величина называется постоянной Больцмана.

Отсюда среднеквадратичная скорость молекулярного движения

(3.5)

прямо пропорциональна корню квадратному из температуры и обратно пропорциональна корню квадратному из молярной массы газа.

Если необходимо характеризовать скорости молекул (или другие их характеристики) более подробно, то нужно использовать методы статистики. Статистика — наука о качественныххарактеристиках массовых объектов (здесь молекул), имеющих случайные свойства. Основные методы статистики — это методытеории вероятностей. В основе слова «статистика» (statistics) можно увидеть корень «state» (штат, государство). Массовые явления нужно анализировать, чтобы понимать процессы в государстве. Существует огромная область физики и химии —статистическая физика. Здесь будут рассмотрены лишь отдельные элементы этой науки.

Итак, удобно молекулы разделить на группы с близкими скоростями — скоростями, лежащими в интервалеотVдоdV. Всего молекул в газеN, а молекул со скоростями в заданном интервале будетdN. Так как молекул «много», то иN— велико, иdN— велико. Поэтому удобно характеризовать тепловое движение «долей» молекул, имеющих скорости отVдоΔV. Такая доляdN/N— это отношение числа молекул, имеющих скорость, близкую к требуемой, к общему числу молекул.

Очевидно, что чем больше интервал скоростей dV≈ΔV, в который входят молекулы изdN≈ΔN, тем и само число молекул со скоростями в этом интервалеdNтоже больше. Короче, доляΔN/Nпрямо пропорциональнаΔV— интервалу скоростей. Коэффициент пропорциональности между долей молекул газаdN/N, имеющих скорость, близкую к какой-то (любой, но одной) скоростиVи интервалом скоростейΔV, в котором скорости считаются «близкими», зависит уже только от самой этой избранной скорости, обозначаетсяF(V) и называетсяфункцией распределения.

(3.6)

Конечно, функцией распределения можно характеризовать не только величины (модули) скоростей, но и, например, проекции скорости на любую ось (назовем ее осью x):

(3.7)

Функции распределения различных величин — характеристик множества молекул, несколько различаются, но в главном они одинаковы. Мало молекул с «крайними» характеристиками. Мало очень «быстрых» и мало очень «медленных». Вот с какими-то «средними» значениями скорости (модуля скорости) молекул будет «много» (рис. 3.2).

Рис. 3.2.Распределение молекул по скоростям (по величинам скоростей)

Также и молекул, быстро летящих вдоль оси xкак в положительном, так и в отрицательном направлении, будет немного, а молекул с малыми проекциями скоростей (т. е. с большими проекциями на другие оси) гораздо больше (рис. 3.3).

Рис. 3.3.Распределение молекул по проекциям скорости

Такой вид функций распределения подтверждается на опыте.

Рассмотрим физический смысл функции распределения F(V). Пусть газ содержитNмолекул. Найдем число молекулdN, скорости которых имеют значение отVдоV+dV. Очевидно, площадь, закрашенная нарис. 3.4, есть вероятность обнаружения таких молекул, т. е. их относительное числоdN/N.

Рис. 3.4.Физический смысл функции распределения Максвелла: закрашенная площадь — доля молекул со скоростями отVдоV+dV

Поскольку величина закрашенной площади равна F(V)dV, то

(3.8)

Таким образом, число молекул со скоростями в интервале (V,V+dV) равно

dN ₌ NF(V)dV. (3.9)