5.1. Функция распределения

     В качестве основной функции, применяемой при статистическом методе описания, выступает функция распределения, которая определяет статистические характеристики рассматриваемой системы. Знание её изменения с течением времени позволяет описывать поведение системы со временем. Функция распределения дает возможность рассчитывать все наблюдаемые термодинамические параметры системы.

     Для введения понятия функции распределения сначала рассмотрим какую-либо макроскопическую систему, состояние которой описывается некоторым параметром , принимающимдискретных значений:,,,...,. Пусть при проведении над системойизмерений были получены следующие результаты: значениенаблюдалось приизмерениях, значениенаблюдалось соответственно приизмерениях и т.д. При этом, очевидно, что общее число измеренийравняется сумме всех измерений, в которых были получены значения:.

     Увеличение числа проведенных экспериментов до бесконечности приводит к стремлению отношения к пределу

     Величина называетсявероятностью измерения значения .

     Вероятность представляет собой величину, которая может принимать значения в интервале. Значениесоответствует случаю, когда ни при одном измерении не наблюдается значениеи, следовательно, система не может иметь состояние, характеризующееся параметром. Соответственно вероятностьвозможна только, если при всех измерениях наблюдалось только значение. В этом случае, система находится в детерминированном состоянии с параметром.

     Сумма вероятностей нахождения системы во всех состояниях с параметрамиравна единице:

     Условие (5.2) указывает на достаточно очевидный факт, что если набор возможных дискретных значений ,, является полным (то есть включает все возможные значения параметрав соответствии с условиями физической задачи), то при любых измерениях параметрадолжны наблюдаться значения этого параметра только из указанного набора.

     Рассмотренный нами случай, когда параметр, характеризующий систему, принимает набор дискретных значений не является типичным при описании макроскопических термодинамических систем. Действительно, такие параметры как температура, давление, внутренняя энергия и т.д., обычно принимают непрерывный ряд значений. Аналогично и переменные, характеризующие движение микрочастиц (координата и скорость), изменяются для систем, описываемых классической механикой, непрерывным образом.

     Поэтому рассмотрим статистическое описание, применимое для случая, когда измеренный параметр может иметь любые значения в некотором интервале. Причем, указанный интервал может быть и не ограниченным какими либо конечными значениямии. В частности параметрв принципе может изменяться отдо, как, например, координаты молекулы газа для случая неограниченной среды.

     Пусть в результате измерений было установлено, что величина с вероятностьюпопадает в интервал значений отдо. Тогда можно ввести функцию, характеризующую плотность распределения вероятностей:

     Эта функция в физике обычно называется функцией распределения.

     Функция распределения должна удовлетворять условию:, так как вероятность попадания измеренного значения в интервал отдоне может быть отрицательной величиной. Вероятность того, что измеренное значение попадет в интервалравна

     Соответственно, вероятность попадания измеренного значения в весь интервал возможных значений равна единице:

     Выражение (5.5) называется условием нормировки функции распределения.

     Функция распределения позволяет определить среднее значение любой функции:

     В частности по формуле (5.6) может быть найдено среднее значение параметра :

     Если состояние системы характеризуется двумя параметрами и, то вероятность её нахождения в состоянии со значениями этих параметров в интервалахисоответственно равна

     где - двумерная функция распределения. Примером такой функции может служить совместное распределение для координат и скоростей молекул газа.

     Соответственно для бесконечно малых интервалов ивероятностьможно представить в виде

     В случае статистической независимости значений параметров идруг от друга двумерная функция распределенийравна произведению функций распределенияи:

     Это свойство функций распределения будет нами использовано при рассмотрении распределения Максвелла-Больцмана.

     Задача 5.1. Найти функцию распределения и среднее значение координаты молекулы газа, находящегося в равновесном состоянии в изолированной системе при отсутствии внешних сил. Считать, что молекула может находиться только в интервале координат . Распространить полученный результат на трехмерный случай.

     Решение: Так как газ находится в равновесном состоянии, то вероятность нахождения молекулы в любом интервале значений координаты будет одинаковой и, следовательно, функция распределения . Тогда в соответствии с условием нормировки (5.5) имеем выражение для функции распределения в интервале значений :

.

     При или функция распределения .

     Подстановка этого выражения для функции распределения в формулу (5.7) дает среднее значение координаты молекулы газа:

.

     Полученные выражения позволяют, с использованием условия независимости переменных , и , аналогично формуле (5.10) записать выражение для трехмерной функции распределения

.

     Соответственно средние значения координат , и будут иметь вид:

, ,.