3.5. Распределение Максвелла

Распределение Максвелла — это распределение молекулпо модулю,повеличине скорости. Так как по величине скорость определяется тремя ее проекциями, а проекции могут иметь независимые значения, то согласно правилу перемножения вероятностей (см.п. 3.3) имеем:

_(3.24)

Конечно, при записи этой формулы использован и принцип(распределение)Больцмана. Распределение по направлениям может быть «уничтожено» интегрированием по угламθиφ, определяющим направление вектора скорости. Очевидно, что

(3.25)

Этот результат можно было предвидеть в соответствии с законом Больцмана. Ведь W_к = m₀V²/2.

Теперь выразим dV_xdV_ydV_zчерез модуль скорости и углы, задающие ее направление. Для этого используем, что произведениеdxdydz— это элемент объема («малый объем»). Также иdV_xdV_ydV_z— малый объем в пространстве скоростей.

Переход от V_x; V_y; V_z— проекций скоростей в декартовых координатах (см. рис. 3.5и3.9) к модулю скоростии угламθ иφсовершенно аналогичен переходу от декартовых координатх;у;zк сферическим координатам с расстояниемr² ₌ х² + у² + z²и теми же угламиθиφ(рис. 3.10).

Рис. 3.9.Переход от проекций скоростейV_x; V_y; V_zк модулю скоростиV

Рис. 3.10.Переход от декартовых координатx,y,zк сферическимr,θ,φ

Сравнивая рис. 3.9и3.10, видим, что переход от элемента объема в пространстве скоростей в декартовых координатахdV_xdV_ydV_z,к элементу объема также в пространстве скоростей,, но выраженному через модуль скоростиVи углыθиφ, полностью аналогичен (совпадает!) с переходом от элемента объема в декартовых координатахdxdydz(рис. 3.11) к элементу объемав сферических координатах (рис. 3.12)

(3.26)

Рис. 3.11.Элемент объемаdxdуdzв декартовой системе координат. В пространстве скоростей ему соответствуютdV_xdV_ydV_z

Рис. 3.12.Элемент объемаdr⋅rdθ⋅r sinθdφв сферических координатах. В пространстве скоростей ему соответствуетdV⋅Vdθ⋅Vsindφ

Очевидно, что для перехода от «пространства координат» к «пространству скоростей» (см. рис. 3.12) нужно заменитьхнаV_х,унаV_у,zнаV_z, радиус-векторна вектор скорости, а радикальную координатуна модуль скорости. Тогда элемент объема в пространстве скоростейdV_xdV_ydV_zпреобразуется в

(3.27)

Легко провести интегрирование по углам.

Интегрируем

(3.28)

и записываем формулу, позволяющую вычислить вероятность, что молекула имеет скорость с величиной, лежащей в интервале между V и V + dV.

(3.29)

Распределение вероятности имеет вид (рис. 3.13):

(3.30)

Рис. 3.13.Распределение Максвелла

Именно это распределение и называется распределением Максвелла. Количество молекул, имеющих скорость, лежащую междуVиV+dV, будет:

(3.31)

а функция распределения количества молекул, соответственно,

(3.32)

Как видно из формулы (3.30), вид кривой распределения зависит от природы молекул (в формулу входит молярная массаМ) и от температуры. Нарис. 3.14приведены кривые распределения молекул азота по скоростям при различных температурах. При повышении температуры вся кривая смещается в сторону больших скоростей (положение максимума, т. е.V_нв пропорционально). Площади под этими кривыми остаются, конечно, неизменными и равными единице, ведь это сумма всех вероятностей того, что молекулы имеют хоть какую-нибудь скорость. Вследствие этого максимум кривой при повышении температуры уменьшается.

Рис. 3.14.Распределение Максвелла для данного газа при нескольких температурах