§2.1. Число пространственных степеней свободы когерентных оптических сигналов

Рассмотрим дифракционно ограниченную оптическую систему, заданную своими зрачками (рис. 47.), которые для упрощения рассмо­трения будем предполагать прямоугольными с размерами С_х, С_у по соответствующим осям.

Рис. 47. Дифракционно ограниченная оптическая система: а) расположение и габариты предмета Р, изображения Р' входного С и выходного С' зрачков; б) ход лучей в плоскости уz;

Предположим, что оптической системе предъявляется объект Р, имеющий размеры А_x и A_y по соответствующим осям и освещаемый слева пространственно когерентным монохроматическим плоско-поляризованным излучением с длиной волны l. Оптическая система формирует изображения предмета в плоскости Р'. Какое количество взаимно независимых отсчетов комплексной амплитуды сигнала может быть, в принципе, снято в плоскости изображения Р' ? Отметим, что полное число незави­симых отсчетов в плоскости Р' равно полному набору незави­симых пространственных параметров, описывающих распространение оптического сигнала через рассматриваемую систему.

Известно, что невозможно различить в изображении детали предмета меньшие по размерам, чем разрешаемый элемент. В связи с этим, в преде­лах одного разрешаемого элемента с поляризованным монохромати­ческим оптическим сигналом связаны только два параметра (ампли­туда и фаза), имеющие для данного предмета вполне конкретные значения. В то же время, в пределах двух соседних разрешаемых элементов комплексные амплитуды поля могут иметь различные значения в зависимости от параметров предмета.

Таким образом, при неизменной поляризации, число простран­ственных степеней свободы оптического сигнала, распространяюще­гося в данной системе, равно числу элементов N, разрешае­мых в изображении предмета, т.е.

, (26)

где A'_x, A'_y - линейные размеры изображения; ∆x', ∆y' - ли­нейные размеры разрешаемого элемента в изображении по соответствующим осям; N_x = A'_x/∆x' N_y = A'_y/∆y' - коли­чества независимых отчетов вдоль осей. Из (26) видно, что общее число независимых параметров равно произведению числа разрешаемых элементов по осям x и у.

Известно, что любая оптическая система обладает ограниченной разрешающей способностью, которая обусловлена волновой природой света. По классической теории Аббе и Рэлея это ограничение связано с дифракцией и определяется длиной волны используемого излучения и числовой апертурой оптической системы. Повысить разрешающую способность возможно при увеличении апертуры оптической системы и уменьшении длины волны используемого излучения. Для дифракционно ограниченной оптической системы (системы без аберраций) размеры разрешаемого элемента определяются со­отношениями:

, (27)

где - задние апертурные углы в координатных плоскостях X0Z и Y0Z.

Из (27) следует, что общее число пространственных степе­ней свободы

, (28)

где ^/ - телесный угол, под которым виден выходной зрачок оптической системы из осевой точки изображения. Поскольку плоскости зрачков, предмета и изображения сопряжены, соотношение (28) может быть записано в виде

, (29)

где А_xА_у - площадь предмета; С_xС_у - площадь входного зрач­ка;  = C_xC_y/S² - телесный угол, под которым виден входной зрачок из осевой точки предмета.

Заметим, что числа степеней свободы, связанные c коорди­натными осями 0Х и 0Y , могут быть определены следующим образом:

, (30)

где А_х, A_y линейные размеры предмета; U_x ,U_у - пе­редние апертурные углы в соответствующих координатных плоскостях.