§1.5. Дискретизация и теорема отчетов (Котельникова)

Для понимания теоремы Шеннона об информационном канале с шумом напомним определения понятий дискретизации и интерполяции.

Определение. Представление непрерывного (аналогового) сигнала x(t) дискретной последовательностью отсчетов x(t_k)=x(k, ∆t), по которым с заданной точностью можно восстановить исходный непрерывный сигнал, называется дискретизацией на равномерной сетке.

Определение. Процесс восстановления дискретизированного сигнала называется интерполяцией. Допустим, у нас есть непрерывное изображение i(x,y). После дискретизации мы получаем дискретное изображение I(x_k,y_m). Затем интерполируем его и переходим к изображению i’(x,y). Естественно возникает вопрос: как нужно проводить дискретизацию, чтобы не происходила потеря информации, т.е. при каких условиях исходное изображение i(x,y) совпадает с восстановленным i’(x,y)? Ответ на этот вопрос может быть получен из теоремы Котельникова.

Теорема. Пусть сигнал s(t) задан на бесконечной оси времени, -∞ < t < ∞, с ограниченной полосой спектра s(ω), тогда справедливо равенство:

(18)

где τ- интервал времени между соседними равноотстоящими отчетами сигнала s(t):

(19)

Т.о., сигнал, описываемый непрерывной функцией времени s(t) с ограниченным спектром, полностью определяется своими значениями, отсчитанными через интервалы времени τ=1/(2F), где F- ширина спектра сигнала. Частота 2F называется частотой Найквиста или частотой дискретизации. Это минимальная частота, с которой нужно посылать импульсы, чтобы не было потери информации. В формуле (19) константу τ обычно называют периодом дискретизации, последовательность s(kτ) – последовательностью дискретизированных значений.

Рис. 45. Представление сигнала s(t) рядом (18)

На рис. 44 проиллюстрировано представление сигнала рядом (18), сплошная линия s(t) представляет сумму сплошного и пунктирных горбов функции в правой части (18), умноженных на величину амплитуд s(k) в точках k.

На практике восстановленная функция, как правило, не совпадает точно c передаваемой функцией s(t). Ошибка обусловлена, например, тем, что спектр передаваемой функции обычно ограничен не резко. Это вытекает хотя бы из того факта, что все реальные сигналы ограничены во времени и, следовательно, имеют неограниченные строго спектры. Выбор интервалов отсчетов τ > 0 означает, что все спектральные составляющие спектра с частотами ω > Ω_max= π τ не передаются и не могут быть восстановлены. Если 2τF > 1, то исходная функция не может быть восстановлена.

Теорема была сформулирована В. А. Котельниковым в 1933 году в его работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи» и является одной из основополагающих теорем в теории и технике цифровой связи.