Формула Планка

В октябре 1900 года на заседании Берлинского физического общества Планк предложил эмпирическую формулу для распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела:

, (14.14)

где C₁ и C₂ – постоянные. Эта формула при больших  (т.е. при условии ) переходила в формулу Рэлея-Джинса. Наоборот, при в знаменателе (14.14) можно было пренебречь единицей, и формула Планка в коротковолновой области переходила в формулу Вина (14.7).

Анализ формулы Планка, проведенный Генрихом Рубенсом, показал, что она хорошо согласуется с результатами его измерений. Однако, как признавался сам Планк, метод нахождения формулы придавал ей «только формальный смысл удачно угаданного закона».

И тогда Планк впервые обратился к статистике. В новой работе он предпринял попытку решить задачу, исходя из теоретических представлений Больцмана о связи между энтропией S и вероятностью состояния W. Именно в этой работе Планк записал указанное соотношение в виде:

. (14.15)

Планк назвал впервые введенную им и вычисленную величину k постоянной Больцмана в знак уважения к выдающимся заслугам Больцмана в развитии статистической физики.

При решении задачи Планк использовал простую модель, рассматривая пространство, ограниченное зеркально отражающими стенками и заполненное излучением, в котором находилась совокупность большого числа независимых гармонических осцилляторов, обладающих всевозможными собственными частотами. В этом пространстве в результате непрерывного поглощения и испускания излучения осцилляторами должно устанавливаться термодинамическое равновесие между осцилляторами и излучением. При этом распределение энергии излучения по частотам должно стать таким же, как и в спектре излучения абсолютно черного тела.

Вероятность некоторого макроскопического состояния идеального газа Больцман определял числом микросостояний, реализующих это макросостояние. Планк применил этот метод для осцилляторов и положил, что термодинамическая вероятность W определенного распределения энергии E между N осцилляторами, обладающими собственной частотой , равна числу способов, с помощью которых эта энергия может распределяться между ними. Однако такая постановка вопроса имела смысл только в том случае, если энергия E распределяется между осцилляторами конечными порциями, кратными некоторой наименьшей величине . Поэтому Планк положил, что E=P, где P – целое число. Тогда количество способов W, которыми энергия E=P может быть распределена между N осцилляторами, равно

. (14.16)

Энтропию данного макросостояния N осцилляторов Планк вычислял по формуле (14.15):

. (14.17)

Считая числа N и P достаточно большими, применяя формулу Стирлинга и вводя среднюю энергию одного осциллятора , Планк получил выражение для энтропии в расчете на один осциллятор:

.

С учетом термодинамического соотношения из этой формулы следует:

,

откуда получается выражение для средней энергии одного осциллятора:

. (14.18)

Наконец, подставив (14.18) в соотношение (14.12), Планк получил формулу для объемной спектральной плотности излучения:

. (14.19)

Любая правильная формула для объемной спектральной плотности излучения должна была удовлетворять термодинамическому закону Вина (14.5). Поэтому Планк положил , и формула для приняла окончательный вид

. (14.20)

Входящие в эту формулу постоянные k и h Планк определил на основе экспериментальных данных, полученных при измерениях распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела: , .

Формула Планка устраняла «ультрафиолетовую катастрофу». Вычисленная с ее помощью интегральная плотность энергии излучения равнялась

,

в полном соответствии с законом Стефана-Больцмана (14.4).

Смысл постоянной h был неясен. Сначала разделение энергии на части, кратные , казалось просто математическим приемом, с помощью которого вычислялась термодинамическая вероятность различных распределений энергии по осцилляторам. Однако величина  вошла в окончательный результат таким образом, что от нее невозможно было освободиться, устремляя ее к нулю, так как при этом получалась формула Рэлея-Джинса. Более того,  не являлась произвольной малой величиной, а была связана с частотой  соотношением , где h – совершенно определенная константа. Это требовало признания дискретности энергии или действия, что не укладывалось в рамки представлений классической физики.

Сам Планк, интерпретируя полученные им результаты, считал, что, несмотря ни на что, электромагнитное излучение непрерывно, а испускание лишь дискретных порций энергии обусловлено свойствами излучающего вещества.

В течение многих лет Планк пытался дать классическое обоснование закона излучения абсолютно черного тела или хотя бы приблизить его вывод к классическим представлениям. Он даже ощущал чувство вины за то, что его работа поколебала устои стройного здания классической физики. Но все попытки дать классическое или «полуклассическое» обоснование основной гипотезы Планка не приводили к положительным результатам. Становилось все более ясно, что гипотеза квантов энергии принципиально чужда классическим представлениям.