Создание общей теории относительности

Эквивалентность сил гравитации и сил инерции в классической механике следовала из факта равенства инертной и гравитационной масс. Проверка этого факта проводилась еще Ньютоном и основывалась на измерении периода колебаний маятников с одной и той же длиной подвеса. Опыты Ньютона и более поздние эксперименты других ученых показали с высокой точностью, что ускорение свободного падения g одинаково для всех тел. Следовательно, для всех тел имеет место строгая пропорциональность инертной и гравитационной масс, которую надлежащим выбором единиц измерения всегда можно свести к строгому равенству.

Еще более точный метод доказательства пропорциональности гравитационной и инертной масс был разработан и в 1890 году осуществлен венгерским физиком Лорандом Этвешем. Вращение Земли вокруг своей оси приводит к тому, что в системе отсчета, связанной с Землей, на тело кроме силы тяготения, направленной к центру Земли и равной , действует центробежная сила инерции , направленная перпендикулярно к оси вращения Земли. Сила тяжести пропорциональна гравитационной массе тела m_г, а центробежная сила – инертной массе m_и. Поэтому, если отношение различно для разных тел, то равнодействующие силы тяготения и силы инерции для разных тел будут иметь различные направления.

Этвеш подвешивал к коромыслу крутильных весов два груза с одной и той же гравитационной массой. Если бы инертные массы грузов были неодинаковы, то равнодействующие сил, приложенных к этим грузам, не были бы равны, и возник бы вращательный момент сил, который обусловил бы поворот коромысла. Результат опытов Этвеша с точностью до 10^8 показал, что гравитационная и инертная массы всех тел пропорциональны друг другу.

В ряде работ 1905 – 1907 годов Эйнштейн обращался к вопросу о связи инертной массы тела с его энергией. Рассматривая случай переноса энергии посредством излучения и исходя из найденного им закона взаимосвязи массы и энергии (16.7), Эйнштейн писал: «Если теория соответствует фактам, то излучение переносит инерцию между излучающими и поглощающими телами».

В 1907 году вышла работа Эйнштейна «Об инерции энергии, требуемой принципом относительности». В этой работе он доказал, что инертная масса электрически заряженного тела больше массы незаряженного тела на величину электростатической энергии, деленной на квадрат скорости света, а также, что система движущихся материальных точек, рассматриваемая как целое, обладает тем большей инертной массой, чем быстрее движутся материальные точки друг относительно друга.

В том же 1907 году Макс Планк высказал мнение, что гравитационная и инертная массы всегда равны и имеют одну и ту же природу. А так как, согласно соотношению (16.7), энергия обладает инерцией, то она должна обладать и гравитацией.

Наконец, в том же году этого вопроса коснулся и Эйнштейн. В упомянутой статье «О принципе относительности и его следствиях» в последнем разделе, озаглавленном «Принцип относительности и тяготение», он писал, что существование инертной массы у энергии «…наводит на мысль о том, не обладает ли энергия также тяжелой (гравитирующей) массой. Далее напрашивается вопрос, ограничен ли принцип относительности системами, движущимися без ускорения». Так впервые в физике был поставлен вопрос о распространении принципа относительности, как требования независимости законов природы от состояния движения системы отсчета, на системы, движущиеся с ускорением друг относительно друга. Эйнштейн рассматривает две системы отсчета. Первая система (неинерциальная) движется с постоянным ускорением вдоль своей оси х. Вторая система покоится, но находится в однородном гравитационном поле, сообщающем всем телам ускорение , направленное вдоль оси х. Однако известно, что все тела в движущейся равноускоренно неинерциальной системе отсчета также приобретают одно и то же ускорение , что описывается в классической механике с помощью введения фиктивной силы инерции . Очевидно, что оба рассмотренных случая физически неотличимы, и можно предположить, что физические законы в первой системе не отличаются от законов во второй системе.

Таким образом, тождество инертной и гравитационной масс приводит к глубоко идущему следствию, положенному Эйнштейном в основу общей теории относительности (ОТО) – принципу эквивалентности. Согласно этому принципу, никакие физические эксперименты, проводимые внутри лаборатории, не позволяют отличить случай, когда лаборатория движется поступательно с постоянным ускорением, а гравитационное поле отсутствует, от случая, когда лаборатория покоится или движется равномерно и прямолинейно в постоянном и однородном гравитационном поле.

Нельзя сказать, что другие авторы игнорировали проблему распространения релятивистской теории на гравитационное взаимодействие. Ряд крупнейших физиков, причем тех, кто был тесно связан с возникновением специальной теории относительности, предпринимали попытки разработать теорию тяготения на основе закономерностей релятивистской механики. Среди них в первую очередь следует отметить Пуанкаре, фактически построившего первый вариант полевой теории гравитации в рамках специальной теории относительности.

Произошло своеобразное обращение ролей теории гравитации и теории электричества в истории физики. В свое время ньютоновский закон тяготения вместе с уравнением Пуассона для гравитационного потенциала, впервые выведенным Лапласом в 1782 году для области вне источника, послужили прототипом для построения электростатики. Теперь же, в начале ХХ столетия, уже теория электромагнетизма была положена в основу поисков последовательно полевой релятивистской теории тяготения.

Однако шаги в этом направлении давались нелегко. В 1908 – 1910 годах Эйнштейн в своих работах не обращался к вопросам, связанным с тяготением. И лишь в 1911 году в работе «О влиянии силы тяжести на распространение света» он вновь вернулся к затронутым им в 1907 году проблемам.

В этой работе Эйнштейн полагает, что скорость света должна зависеть от гравитационного поля, а также предсказывает эффект гравитационного красного смещения спектральных линий солнечного излучения по сравнению с соответствующими спектральными линиями земных источников света:

,

где  и – частоты света, соответственно, испускаемого Солнцем и воспринимаемого на Земле; – гравитационный потенциал у поверхности Солнца.

В 1912 году в работе «Скорость света и статическое гравитационное поле» Эйнштейн подчеркивает, что следствия гипотезы о физической эквивалентности ускоренной системы координат гравитационному полю не противоречат специальной теории относительности, рассматриваемой как релятивистская механика равномерно движущихся систем отсчета. Однако справедливость постулата постоянства скорости света должна быть ограничена случаем постоянного гравитационного потенциала. Этот результат исключает и универсальную применимость преобразований Лоренца, но уверенность Эйнштейна в принципе эквивалентности к этому времени возрастает настолько, что он, в отличие от многих физиков, полагает возможным отказаться от постоянства c. «Если ограничиться областью постоянного гравитационного потенциала, – пишет Эйнштейн, – то законы природы принимают чрезвычайно простую и инвариантную форму по отношению к множеству пространственно-временных систем, связанных друг с другом преобразованиями Лоренца с постоянной c. Если же не ограничиваться областями, где c постоянна, то множество эквивалентных систем, равно как и множество преобразований, оставляющих законы природы неизменными, станет более обширным; однако законы при этом станут более сложными».

В этом утверждении уже просматриваются контуры принципа общей ковариантности, лежащего в основе ОТО и утверждающего, что законы природы должны быть инвариантны относительно любых преобразований всех четырех координат пространственно-временного континуума:

.

Можно с определенностью утверждать, что к началу ХХ века были подготовлены все условия для создания ОТО. Научная мысль уже созрела для восприятия идеи искривленности пространства, а такие выдающиеся математики, как Ли, Кристоффель, Риччи, Леви-Чивита и другие, в процессе развития римановой геометрии уже разработали математический аппарат искривленных многомерных многообразий.

Формирование собственно общей теории относительности началось в 1913 году работой Эйнштейна и Гроссмана «Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения». В этой статье Эйнштейн опирается на принцип эквивалентности как на очевидный факт.

В специальной теории относительности вводится понятие о четырехмерном многообразии: пространстве-времени Минковского. При этом роль квадрата расстояния между двумя мировыми точками играет квадрат интервала , а метрический тензор оказывается диагональным:

, (16.10)

то есть псевдоевклидово пространство-время Минковского является плоским.

Если же перейти к неинерциальной, движущейся с постоянным ускорением системе отсчета, то выражение для квадрата интервала будет содержать не только квадраты дифференциалов, но и произведения дифференциалов различных координат. При этом метрический тензор становится недиагональным, некоторые его смешанные компоненты оказываются отличными от нуля и, более того, переменными.

В общем случае, если перейти от координат ct, x, y, z к произвольным криволинейным координатам x₀, x₁, x₂, x₃, которые являются дифференцируемыми функциями пространственных координат и времени , то квадрат интервала представляется в виде однородной квадратичной формы новых координат с переменными коэффициентами:

. (16.11)

Будучи симметричным, метрический тензор определяется лишь десятью независимыми компонентами .

В отсутствие истинного гравитационного поля всегда можно от криволинейных неинерциальных координат x₀, x₁, x₂, x₃ вернуться к инерциальной декартовой системе отсчета. При этом фиктивные силы инерции исчезают, а компоненты метрического тензора принимают значения (16.10). Это и означает, что в отсутствие гравитационного поля геометрия пространства-времени остается псевдоевклидовой геометрией Минковского, т.е. четырехмерный пространственно-временной континуум является плоским.

Далее Эйнштейн и Гроссман рассматривают гравитационное поле и отмечают, что из экспериментов Галилея, Ньютона, Этвеша следует, что все тела в гравитационном поле Земли падают с одинаковым ускорением независимо от их индивидуальных свойств (массы, вещества, формы и т.д.). Следовательно, приобретаемое телами ускорение зависит лишь от их положения в пространстве. Поэтому можно попытаться сопоставлять характеристики притяжения не самим телам, а именно соответствующим точкам пространства, т.е. гравитационному полю. Наличие сил инерции отражается в значениях компонент метрического тензора . Тогда, следуя принципу эквивалентности, необходимо предположить, что и наличие в пространстве истинных гравитационных полей также должно быть отражено в значениях . Следовательно, для реализации данной идеи необходимо перейти к пространству-времени с компонентами метрического тензора , изменяющимися от точки к точке, т.е. к искривленному пространству-времени. Тогда появляется возможность говорить об изменении геометрических свойств пространства-времени. Дальнейшая задача состоит лишь в установлении конкретной связи между значениями компонент и свойствами гравитационного поля. Именно так и была поставлена задача и начато ее решение в упомянутой работе Эйнштейна и Гроссмана. В «Физической части» этой статьи, написанной Эйнштейном, говорится: «Таким образом, мы приходим к убеждению, что в общем случае гравитационное поле характеризуется десятью пространственно-временными функциями». Эти функции представляют собой десять независимых компонент метрического тензора.

Поскольку гравитационное поле и изменение геометрии возникают совместно, то компоненты метрического тензора имеют двоякий физический смысл. Во-первых, они характеризуют метрические свойства четырехмерного пространства-времени. Во-вторых, они характеризуют интенсивность гравитационного поля, т.е. являются гравитационными потенциалами. Поэтому в теории гравитационного поля играют такую же роль, как векторный () и скалярный () потенциалы в теории электромагнитного поля.

В 1913 году Эйнштейн обращается и к вопросу об энергии и импульсе гравитационного поля. Законы сохранения энергии-импульса материи в специальной теории относительности заключаются в уравнениях

,

представляющих собой условие равенства нулю четырехмерной дивергенции от симметричного тензора 2-го ранга – тензора энергии-импульса.

Однако обобщение этих уравнений на случай наличия гравитационного поля в ОТО приводит к уравнениям, сложным образом включающим в себя производные от компонент метрического тензора . При наличии гравитационного поля переменны, и компоненты тензора энергии-импульса материи (под материей в ОТО подразумевается все вещество и излучение за исключением гравитационного поля) не удовлетворяют закону сохранения.

В 1914 – 1915 гг. Эйнштейн публикует несколько статей, в которых обсуждает вопрос о возможности построения релятивистской теории тяготения, не базирующейся на постулате о постоянстве скорости света, а также окончательно формулирует принцип общей ковариантности уравнений поля.

Создание общей теории относительности стало свершившимся фактом после опубликования в 1915 – 1916 гг. работы Давида Гильберта «Основания физики» и двух работ Эйнштейна: «Уравнения гравитационного поля» и «Основы общей теории относительности».

В классической физике тяготение в любой точке пространства определяется распределением в нем вещества, то есть массой тел. Согласно же специальной теории относительности, масса тела зависит от выбора системы отсчета. Требование релятивистской инвариантности законов движения приводит к тому, что распределение масс в теории относительности характеризуется с помощью все того же тензора энергии-импульса . Тензор , будучи симметричным, имеет 10 независимых компонент, а его ковариантная дивергенция равна нулю.

В соответствии с основной гипотезой Эйнштейна, тяготение является следствием искривления пространства-времени, причем степень этого искривления определяется гравитирующей материей, распределение которой описывается тензором энергии-импульса. Следовательно, и кривизна пространства-времени должна описываться некоторым симметричным тензором 2-го ранга с равной нулю ковариантной дивергенцией. С другой стороны, поскольку метрические свойства пространства-времени характеризуются метрическим тензором , то искомый тензор 2-го ранга, описывающий кривизну пространства-времени, должен быть образован из компонент метрического тензора и их производных.

Законы нашего мира таковы, что практически все основные уравнения физики содержат вторые производные. Это справедливо для уравнений механического движения, содержащих вторые производные от координат по времени, так записываются и уравнения Максвелла для электромагнитного поля

,

содержащие первые производные от компонент тензора электромагнитного поля , в свою очередь выражающихся через первые производные от компонент 4-вектора потенциала:

.

Естественно ожидать, что и уравнения гравитационного поля содержат вторые производные от .

Основным тензором, который можно построить из компонент метрического тензора и их первых и вторых производных, является тензор кривизны (тензор Римана-Кристоффеля):

, (16.12)

где – символы Кристоффеля, являющиеся комбинациями первых производных от метрического тензора:

.

Сам тензор (16.12) в уравнения гравитационного поля входить не может, т.к. является тензором 4-го ранга и имеет 20 независимых компонент. Однако из тензора кривизны можно путем свертывания по паре индексов построить симметричный тензор 2-го ранга (тензор Риччи):

, (16.13)

свертка которого

(16.14)

носит название скалярной кривизны пространства.

Эйнштейн показывает, что симметричный тензор 2-го ранга (тензор Эйнштейна), являющийся комбинацией тензора Риччи с инвариантом кривизны:

, (16.15)

обладает требуемым свойством: как и в случае тензора энергии-импульса , ковариантная дивергенция тензора также равна нулю.

Поэтому Эйнштейн и положил, что между и существует прямо пропорциональная зависимость, и записал основные уравнения гравитационного поля в виде:

. (16.16)

Вскоре было показано, что из уравнений Эйнштейна (16.16) в ньютоновском приближении (предположении о малости скоростей всех частиц и о слабости гравитационного поля) следует уравнение Пуассона для гравитационного потенциала :

, (16.17)

где  связан с компонентой метрического тензора соотношением:

.

Этот предельный переход от ОТО к ньютоновской механике позволил найти связь эйнштейновской постоянной  с гравитационной постоянной G:

. (16.18)

Эйнштейн рассматривает и вопрос об уравнениях движения материальной точки в гравитационном поле. Движение свободной частицы в специальной теории относительности определяется принципом наименьшего действия:

, (16.19)

где – интервал между двумя бесконечно близкими мировыми точками. Согласно (16.19), мировая линия движущейся частицы между двумя заданными мировыми точками отвечает минимуму функционала действия, что в случае метрики Минковского (16.10) соответствует движению по прямой. Движение частицы в гравитационном поле в ОТО должно определяться принципом наименьшего действия в той же форме, поскольку гравитационное поле является изменением метрики пространства-времени, проявляющимся только в изменении выражения для ds:

. (16.20)

Подстановка (16.20) в (16.19) и последующие несложные вычисления приводят к искомым уравнениям движения частицы в гравитационном поле:

, (16.21)

представляющим собой не что иное, как уравнение геодезической линии.

Итак, частица в гравитационном поле движется таким образом, что ее мировая точка перемещается по геодезической линии в 4-мерном пространстве . При наличии гравитационного поля это 4-мер-ное пространство не является псевдоевклидовым пространством-временем Минковского, и геодезическая линия не является прямой, а реальное пространственное движение частицы неравномерно и непрямолинейно. Тем не менее, тот факт, что движение частицы в гравитационном поле представляет собой движение по геодезической линии в искривленном 4-пространстве, означает, что в ОТО свободное падение в гравитационном поле рассматривается как свободное движение в 4-простран-стве.

В том же 1916 году в работе «Приближенное интегрирование уравнений гравитационного поля» Эйнштейн пришел к выводу о возможном существовании в природе гравитационных волн, являющихся слабыми возмущениями метрических свойств пространства-времени.

Рассматривая слабое гравитационное поле в пустоте, когда метрика пространства-времени мало отличается от метрики Минковского, и представляя, соответственно, компоненты метрического тензора в виде

(16.22)

(где – компоненты метрического тензора в плоском пространстве-времени Минковского; – малые поправки, определяющие гравитационное поле вдали от источников), Эйнштейн получил уравнение для возмущений поля тяготения

, (16.23)

по форме полностью совпадающее с волновым уравнением для электромагнитного поля. Следовательно, гравитационные волны, как и электромагнитные, должны распространяться в пустоте со скоростью света. Более того, гравитационные волны, как и электромагнитные, должны быть поперечными. Но между этими волнами имеется существенное отличие. Поляризация электромагнитной волны имеет векторный характер (плоскость поляризации электромагнитной волны перпендикулярна плоскости колебаний вектора ). Падая на систему пробных зарядов, электромагнитная волна смещает их относительно нейтральных частиц. Для гравитационных волн, у которых поляризация имеет тензорный характер, не существует «нейтральных» частиц, относительно которых можно было бы измерить смещение «зарядов». Здесь следует говорить лишь о смещении одной массы относительно другой.

В 1916 году произошло еще одно знаменательное событие: Карл Шварцшильд получил первое точное решение уравнений Эйнштейна, описывающее сферически симметричное гравитационное поле точечной массы. При решении поставленной задачи Шварцшильд принял следующую общую форму интервала:

. (16.24)

Потребовав, чтобы решение уравнений Эйнштейна на больших расстояниях от центра совпадало с ньютоновским законом тяготения, а искомое выражение для интервала на бесконечности описывало пространство-время Минковского, для которого в сферических координатах имеет вид

,

Шварцшильд получил следующее выражение для квадрата интервала в окрестности гравитирующей точечной массы m:

. (16.25)

Величина была названа Шварцшильдом гравитационным радиусом тела, а сфера радиуса , описанная вокруг центра, получила название сферы Шварцшильда. При этом выяснилось, что формула для гравитационного радиуса в свое время была получена еще П. Лапласом, задавшимся вопросом, каков должен быть радиус тела массы m, чтобы вторая космическая скорость равнялась скорости света.

Из полученного Шварцшильдом решения следовало искривление пространства в окрестности точечной массы, а также эффект замедления течения времени в сильном гравитационном поле.

В работах 1916 года сам Эйнштейн указал на три эффекта, величина которых могла бы являться критерием правильности идей ОТО. Это прецессия перигелия планеты Меркурий, отклонение светового луча гравитационным полем Солнца и гравитационное красное смещение линий в спектрах излучения далеких звезд.

Данные об отклонении движения Меркурия по орбите от предсказываемого небесной механикой Ньютона появились в середине XIX века. Надо отметить, что и теория Ньютона предсказывала, что под действием возмущений со стороны остальных планет перигелий Меркурия должен перемещаться примерно на 575 за 100 лет. Кроме того, имеется и нединамическое (кинематическое) смещение перигелия, связанное с прецессией нашего базиса и составляющее для Меркурия еще 5026 за столетие. Эти цифры были известны и в ХIХ веке, но уже тогда открыли, что к поддающимся объяснению 5601, на которые перигелий Меркурия смещается за столетие, фактически добавляется еще около 40.

В процессе создания ОТО Эйнштейн показал, что орбиты планет в ней незамкнуты: они схожи с эллипсами, поворачивающимися в своей плоскости. Теоретическими расчетами движения планет в центральном поле в рамках ОТО занимались и такие ученые как Смарт и Эддингтон. Рассматривая уравнение геодезической (16.21) в поле точечного источника, описываемом метрикой Шварцшильда, можно прийти к уравнению для радиальной координаты r как функции угла . Решение этого уравнения в первом приближении, приводящем к отличию от ньютоновских решений, может быть представлено в виде:

,

где m – масса точечного источника, m – масса обращающегося тела, M – момент импульса, e и  – постоянные, причем

. (16.26)

Из (16.26) следует, что за время одного полного оборота (  ) происходит смещение перигелия на величину

. (16.27)

В ньютоновской механике для потенциала кулоновского типа решением задачи Кеплера является замкнутый эллипс, и смещение перигелия отсутствует. Специальная теория относительности приводит к смещению перигелия, в шесть раз меньшему, чем ОТО. Численное значение  , определяемое формулой (16.27), для Меркурия равно 43 за столетие. Современные астрономические измерения дают значение  = (43,1  0,4) в хорошем согласии с теорией.

Далее, еще в 1801 году было установлено, что, проходя вблизи поверхности Солнца, луч далекой звезды должен отклоняться на угол около 0,85. Этот вывод вытекает из ньютоновской механики при рассмотрении распространения света как движения по направлению к Солнцу частицы, имеющей на бесконечности скорость c. Этот же вывод следовал и из специальной теории относительности.

С точки зрения ОТО, здесь шла речь о свободном движении фотонов в искривленном пространстве-времени. Исходя из представлений ОТО, Эйнштейн вычислил, что световой луч, проходя вблизи поверхности сферического тела массы m, должен отклоняться от прямолинейного пути на угол

, (16.28)

где r – наименьшее расстояние от луча света до центра массивного тела. Для расстояния, равного радиусу Солнца, формула (16.28) приводит к значению  = 1,75, вдвое превышающему результат применения механики Ньютона.

Чтобы подтвердить или опровергнуть этот эффект, необходимо было проводить тончайшие измерения видимого положения звезд вблизи края солнечного диска во время полных солнечных затмений и некоторое время спустя. Впервые упомянутый эффект был измерен А. Эддингтоном во время полного солнечного затмения 29 мая 1919 года. Эддингтон пришел к выводу, что наблюдавшимся эффектом теория Эйнштейна подтверждается с точностью 1520%.

Наконец, третий из эффектов заключается в том, что линии в спектрах излучения звезды массы m и радиуса R смещаются к красному концу спектра на величину

. (16.29)

Для Солнца при длине волны  = 400 нм эта формула дает  = 0,0008 нм. Такую малую величину невозможно выделить на фоне других эффектов. В спектрах массивных звезд малого радиуса (например, белых карликов) эффект гораздо больше, однако радиус далеких звезд и их массы до сих пор устанавливаются со значительной ошибкой.

Лишь в 1960 году Паунду и Ребке удалось в лабораторных условиях измерить смещение спектральных линий, обусловленное гравитационным полем Земли. Для этого они использовали метод резонансного поглощения -квантов (эффект Мессбауэра). Излучатель квантов был установлен на высоте 22 м над поверхностью земли, а приемник – внизу, на уровне земли. Относительное возрастание энергии квантов, излучаемых ядрами железа, при движении от излучателя к приемнику составляло 2,510^15. Смещение частоты -квантов измерялось методом компенсации за счет движения детектора. Измерения Паунда и Ребки подтвердили формулу (16.29) с точностью до 1%.

Однако, этот эффект, по сути дела, является следствием закона эквивалентности массы и энергии в специальной теории относительности; поэтому его значение для подтверждения ОТО не считается определяющим.

Все три рассмотренных эффекта являются крайне малыми, их измерение сопряжено с большими экспериментальными трудностями; поэтому исследования в этом направлении продолжаются и сегодня со все возрастающей точностью. Вообще же, по меткому замечанию американского астрофизика Роберта Дикке, «если серьезно исследовать данные наблюдений, положенные в основу общей теории относительности, то оказывается, что уверенность в ее правильности базируется не столько на непосредственных экспериментальных фактах, сколько на стройности и изысканности теории».