Зарождение и развитие релятивистской космологии

А между тем, ньютоновская механика, применяемая ко Вселенной в целом, приводила к противоречиям, которые не могли быть разрешены в рамках нерелятивистской теории. Так, применяя формулу классической механики для гравитационного потенциала

(16.30)

к плоскому бесконечному пространству, заполненному веществом с произвольно распределенной нигде не обращающейся в нуль средней плотностью , легко найти, что потенциал в каждой точке обращается в бесконечность. Таким образом, закон всемирного тяготения Ньютона в сочетании с концепцией дальнодействия не приводил к однозначным конечным значениям для гравитационных сил, если предполагать, что поле тяготения в каждой точке создано бесконечной массой Вселенной. Это противоречие, заключавшееся в неоднозначности результатов расчета гравитационной силы, действующей на тело со стороны бесконечной Вселенной с однородным распределением плотности, получило название гравитационного парадокса. Как отмечал Эйнштейн, выход из этой ситуации мог быть в том, «… чтобы мир имел нечто вроде центра, где плотность числа звезд была бы максимальной, и чтобы эта плотность убывала с расстоянием от центра так, что на бесконечности мир был бы совсем пустым». По мнению Эйнштейна, такое предположение, не будучи удовлетворительным само по себе, приводит к следствию, «… что свет, излучаемый звездами, а также отдельные звезды … должны непрерывно удаляться в бесконечность, никогда не возвращаясь и не вступая во взаимодействие с другими объектами природы».

Выход из гравитационного парадокса можно было искать и на пути корректировки ньютоновского закона тяготения. Так, некоторые физики полагали, что на больших расстояниях сила притяжения двух масс убывает быстрее, чем по закону r^2. При этом, как писал Эйнштейн, « … можно освободиться от представления о том, что материальный мир обладает каким-то центром. Правда, это освобождение … достигается ценой изменения и усложнения закона Ньютона, которые не имеют ни экспериментального, ни теоретического обоснования».

Поэтому Эйнштейн ищет решение космологической проблемы в рамках созданной им общей теории относительности. Исходным при построении космологических моделей он считает предположение, что свойства Вселенной в каждый момент времени одинаковы во всех точках и во всех направлениях. Первое свидетельствует об отсутствии какого-либо центра мира, а второе – о невозможности существования во Вселенной выделенных направлений. В этом утверждении заключается т.н. космологический принцип. Данные астрономических наблюдений не противоречили космологическому принципу во времена Эйнштейна, не противоречат они ему и сегодня. Правда, следует уточнить, что космологический принцип может иметь лишь приближенный характер: он справедлив в космологических же масштабах (например, по современным данным, изотропия распределения галактик начинает проявляться в объемах с характерным размером около 30 Мпс¹), а при переходе к меньшим масштабам однородность заведомо нарушается. Космологический принцип дает возможность рассматривать такие характеристики модели Вселенной, как давление и плотность, как функции лишь мирового времени.

В 1917 году Эйнштейн опубликовал работу «Вопросы космологии и общая теория относительности», положившую начало релятивистской космологии. В то время он еще находился в плену представлений о стационарности Вселенной. Задавшись интервалом в форме (16.24), Эйнштейн предпринял попытку построить модель статической однородной Вселенной. Для такой Вселенной давление p и плотность  являются постоянными величинами, имеющими всюду одни и те же значения p₀ и ₀. Оказалось, однако, что при любых p₀ > 0 и ₀ > 0 уравнения Эйнштейна не приводят к решениям для статической Вселенной. И лишь при p₀ = 0 и ₀ = 0 решение сводится к пустому пространству-времени Минковского.

Не отказавшись от попыток построить космологическую модель стационарной Вселенной, Эйнштейн исследовал возможность обобщения уравнений гравитационного поля. Оказалось, что это действительно возможно. Обе части уравнений Эйнштейна (16.16) обладают тем свойством, что ковариантная производная от них равна нулю. Но это свойство не изменяется при добавлении в левую часть слагаемого вида , где  – некоторая постоянная. Поэтому Эйнштейн придал своим уравнениям вид:

. (16.31)

Так в ОТО вошел параметр, получивший название космологической постоянной.

Смысл космологической постоянной заключался в том, что во Вселенной наряду с силами тяготения действуют некие универсальные силы космического отталкивания, зависящие не от массы тел, а лишь от расстояния, их разделяющего. Ускорение, сообщаемое этими силами любым телам, разнесенным на расстояние R, должно быть пропорционально этому расстоянию. Тем самым, силы отталкивания в космологических масштабах компенсируют результат действия сил тяготения, что позволяет создать космологическую модель стационарной Вселенной. Далее Эйнштейн нашел решение модифицированных уравнений (16.31) при тех же условиях однородности и статичности Вселенной. Вселенная оказалась замкнутой трехмерной сферой с радиусом и объемом . Вещество Вселенной в основном сосредоточено в звездах, характеризующихся незначительными относительными движениями, и, следовательно, их давлением можно пренебречь. Поэтому Эйнштейн положил p₀ = 0 и получил следующие выражения для оценки основных параметров своей модели – радиуса кривизны R, космологической постоянной  и полной массы вещества во Вселенной M:

; ; .

В то время из астрономических наблюдений было известно, что средняя плотность вещества во Вселенной   10^29 г/см³. Это приводило к следующим значениям параметров модели: R  10²⁸ см;   10^56 см^2; M  210⁵⁶ г. Такая малость космологической постоянной делала совершенно безнадежной задачу ее лабораторного измерения. Космическое отталкивание никак не могло сказаться на движении тел Солнечной системы и могло быть обнаружено только при наблюдении движений самых далеких галактик.

Универсальность гипотетических сил космического отталкивания, совершенно не зависящих от физической природы космических объектов, наводила на мысль о гравитации вакуума. Таким образом, вопрос о возможности гравитации вакуума был поставлен Эйнштейном еще в 1917 году.

Через два месяца после опубликования статьи Эйнштейна появилась работа голландского астронома и физика Виллема де Ситтера, в которой было показано, что уравнение Эйнштейна с  – членом (16.31) и той же формой для интервала (16.24) допускает еще одно решение, а именно, p = 0 и  = 0. Речь шла о пустой статической замкнутой Вселенной. В модели де Ситтера скорость светового сигнала должна была зависеть от расстояния r до начала координат, где располагался наблюдатель: , где R – радиус кривизны мира. Кроме того, в модели де Ситтера присутствовал эффект красного смещения:

.

В целом статические модели Эйнштейна и де Ситтера сыграли положительную роль в развитии астрофизики. Но обе они оказались непригодными для сопоставления теории с наблюдениями. Модель Эйнштейна не предсказывала красного смещения в спектрах галактик; модель де Ситтера отличалась от реальной Вселенной своей пустотой.

А между тем, уже из ньютоновской механики следовал вывод о нестационарности бесконечной однородной Вселенной. А именно, любые две галактики, расположенные в такой Вселенной на расстоянии R, должны, согласно классической механике, приобретать взаимное ускорение друг к другу, пропорциональное R. Как конкретно должны двигаться галактики, будет ли происходить расширение Вселенной (замедляющееся вследствие взаимного притяжения галактик) или ее сжатие, зависит от начальных условий в некоторый момент времени. В общем же случае галактики должны двигаться (удаляться или сближаться), расстояние между ними и плотность вещества во Вселенной должны меняться со временем, а значит, должны меняться и относительные скорость и ускорение.

Начало исследованиям нестатических моделей Вселенной в рамках ОТО положил российский физик А. Фридман. В 1922 и 1924 годах он опубликовал в берлинском физическом журнале две статьи: «О кривизне пространства» и «О возможности мира с постоянной отрицательной кривизной».

Ознакомившись с первой статьей Фридмана, Эйнштейн подверг ее сомнению и в ответ опубликовал краткую заметку, уличавшую автора в математической ошибке. Но, получив письмо от Фридмана и проверив результаты своих расчетов, Эйнштейн изменил свою точку зрения. В 1931 году, когда теория динамической Вселенной приобрела широкое признание, Эйнштейн указал: «Первым на этот путь стал Фридман».

Вторым был бельгийский астроном Жорж Леметр. Не известно даже, был ли он знаком с работами Фридмана. В течение нескольких лет Леметр занимался анализом модели де Ситтера, в частности, проблемой красного смещения. В статье 1927 года «Однородная Вселенная с постоянной массой и возрастающим радиусом …» Леметр пишет: «Желание отыскать решения, которые одновременно имели бы положительные черты миров Эйнштейна и де Ситтера, привело нас к анализу мира Эйнштейна с переменным радиусом пространства». Но если радиус мира возрастает, то его расширение началось с момента, когда вещество было сжато до огромных плотностей. Леметр допускает и это, называя состояние высокой концентрации вещества «первичным атомом».

В первой статье Фридмана, опубликованной в 1922 году, была разработана закрытая изотропная модель Вселенной. Важным моментом в развитии релятивистской теории нестатичной Вселенной являлось введение «сопутствующей» системы отсчета, движущейся в каждой точке пространства вместе с находящимся в ней веществом. Пространственные координаты при этом представляются в виде сетки, узлы которой связаны с частицами вещества (галактиками) и движутся вместе с ними. Скорость вещества в этой системе по определению везде равна нулю. При этом существенно упрощается выражение для тензора энергии-импульса, т.к. отличной от нуля оказывается лишь компонента 4-вектора скорости u₀, равная в рассматриваемом случае единице.

Решая задачу выбора общего вида интервала ds², Фридман рассмотрел геометрию изотропного 3-мерного пространства как геометрию на заведомо изотропной 3-мерной гиперповерхности, вложенной в некоторое фиктивное 4-мерное евклидово пространство (не имеющее ничего общего с 4-мерным пространством-временем Минковского). Такой гиперповерхностью является гиперсфера. Соответствующее ей трехмерное пространство является пространством положительной кривизны. Уравнение гиперсферы радиуса R в 4-мерном евклидовом пространстве имеет вид:

, (16.32)

а элемент длины на ней выражается следующим образом:

.

Удобную форму для можно получить в 4-мерных «сферических координатах»:

;

;

;

,

где R играет роль радиуса кривизны 3-мерного пространства. При этом

.

Объем пространства с положительной кривизной конечен и оказывается равным . Таким образом, пространство положительной кривизны оказывается замкнутым. В первой статье 1922 года Фридман выбирает интервал в виде:

, (16.33)

а тензор энергии-импульса:

, (16.34)

где  – плотность энергии. Поскольку в соответствующей системе отсчета компоненты 4-вектора скорости имеют значения ( = 1,2,3), а давление p, начиная с некоторого этапа в расширении Вселенной, можно считать равным нулю, то . Уравнения тяготения Эйнштейна Фридман записывает в виде (16.31). На основе заданной формы для интервала и вычисленных компонент тензора Риччи Фридман сводит уравнения Эйнштейна к системе двух дифференциальных уравнений:

;

. (16.35)

Это и есть динамические уравнения Фридмана. Здесь обозначено:

; ,

где R(t) – входящий в выражение для интервала (16.33) радиус кривизны пространства. Так как координаты являются сопутствующими, то их значения не меняются со временем. Меняется величина R(t), поэтому ее называют также масштабным фактором.

Из теории Фридмана следовало, что скорость взаимного удаления точек (галактик) пропорциональна расстоянию между ними

. (16.36)

Скорость удаленных галактик и их скоплений относительно нашей Галактики первым начал измерять в 1912 году американский астрофизик Слайфер. Делалось это на основании доплеровского смещения спектральных линий в спектрах космических объектов. Величину смещения обычно обозначают через z; в случае скоростей v, значительно меньших скорости света,

.

Слайфер обнаружил, что линии в спектрах далеких галактик смещены к красному концу; значит, далекие галактики удаляются от нашей Галактики.

В 20-е годы были впервые измерены расстояния до галактик. Это удалось сделать с помощью наблюдения цефеид – пульсирующих звезд, меняющих свою светимость. Их замечательной особенностью является тесная взаимосвязь светимости и периода ее изменения. Зная период, можно вычислить светимость. Затем, измеряя видимую звездную величину и учитывая, что видимый блеск обратно пропорционален квадрату расстояния до цефеиды, можно найти и расстояние до нее.

Расстояния до целого ряда галактик были определены американским астрономом Хабблом. Сравнение расстояний до галактик r со скоростями их удаления v позволило Хабблу в 1929 году установить, что эти величины связаны простой зависимостью:

. (16.37)

Это означало, что чем дальше галактика, тем больше скорость ее удаления от нашей Галактики. Зависящий от времени коэффициент пропорциональности H со временем стали называть постоянной Хаббла. Очевидно, что формула (16.36) с точностью до обозначений совпадает с соотношением Хаббла (16.37), откуда для постоянной Хаббла следует: . В первой работе Хаббла рассматривались максимальные скорости удаления галактик около 1200 км/с, что соответствовало z  0,004. Сегодня мы знаем, что галактики, использованные Хабблом, находятся в ближайших окрестностях нашей Галактики. Первая оценка величины H, сделанная самим Хабблом, дала . В течение нескольких десятилетий на основе все более точных астрономических наблюдений астрофизики уточняли величину постоянной Хаббла. Сегодня ее значение считается равным 50  100 .

Итак, наблюдения показывали, что скопления галактик удаляются от нашей Галактики со скоростями, пропорциональными расстояниям до них. Если не делать сомнительного и отвергнутого уже Коперником предположения, что человечество находится точно в центре Вселенной, то следовало заключить, что точка наблюдения, связанная с Землей, – случайная, ничем не выделенная точка Вселенной. Поэтому наблюдаемая из нее общая картина Вселенной, по-видимому, должна быть той же, что и наблюдаемая из любой другой точки. Тогда оставалось принять, что Вселенная равномерно расширяется относительно всех своих точек.

Взаимное удаление точек может быть замедленным или ускоренным. Для характеристики ускорения в теории динамической Вселенной пользуются безразмерным параметром , что позволяет переписать уравнения Фридмана в виде

;

, (16.38)

где q₀ и H – значения параметра q и постоянной Хаббла на момент наблюдения.

Космологическая постоянная  если и отлична от нуля, то очень мала; поэтому можно положить  = 0. Для замкнутой Вселенной с положительной кривизной . При этом второе из уравнений (16.38) приводит к неравенству

. (16.39)

Таким образом, закрытая изотропная модель реализуется при условии

. (16.40)

Величину называют критической плотностью. При Вселенная оказывается евклидовой, а при реализуется открытая изотропная модель, т.е. бесконечная незамкнутая Вселенная с отрицательной кривизной, впервые рассмотренная Фридманом в статье 1924 года.

Переход к пространству с отрицательной кривизной осуществляется путем формальной замены R на iR, т.е. геометрия пространства с отрицательной кривизной есть геометрия на четырехмерной псевдосфере с мнимым радиусом. Если ввести координату  с помощью соотношения , где r может принимать все значения от 0 до , то выражение для элемента длины в таком пространстве определяется формулой:

.

Уравнения Фридмана в случае открытой изотропной модели принимают вид:

;

. (16.41)

Из второго уравнения и следует условие

,

при котором реализуется открытая изотропная модель.