logo search
Lin

4.1Общее решение комплексных телеграфных уравнений

Рис. 3

Допустим, что реальная линия передачи настолько длинна, что её можно моделировать полуограниченной однородной линией (0 £ x¢ < ¥). Как известно, общее решение уравнения Гельмгольца в общем случае можно записать в виде линейной комбинации либо экспонент exp(+gx¢), exp(–gx¢), либо гиперболических функций shgx¢, chgx¢. Однако для полубесконечного отрезка линии (Рис. 3) его общее решение, ограниченное на промежутке [0, ¥), должно содержать, очевидно, только одну убывающую экспоненту:

, (0)

. (0)

Постоянные интегрирования U(0) и I(0) характеристик конечного участка [0, x¢] полубесконечного отрезка линии [0, ¥) (11), (12) представляют собой комплексы действующих значений напряжения и тока в его начале. С другой стороны их можно рассматривать как комплексы действующих значений напряжения U1 = U(0) и тока I1 = I(0) неавтономного двухполюсника, между которыми должна существовать линейная зависимость. Для установления этой связи обратимся к комплексным дифференциальным характеристикам однородной линии (5), (6). Комплекс действующего значения напряжения U(x¢) с учётом (12) будет определяться выражением

(0)

Обозначим

(0)

Это выражение называется характеристическим (волновым) сопротивлением однородной линии. Для определённости, из двух значений последнего корня для Zc надо взять то, аргумент которого подчиняется неравенству

Сопоставляя выражения (11) и (13), находим Z-форму искомой линейной зависимости:

или . (0)

Справедливо и дуальное (в Y-форме) соотношение между рассматриваемыми величинами

или . (0)

Выражение

(0)

при определяет характеристическую (волновую) проводимость однородной линии. Очевидно, характеристическое сопротивление Zc и характеристическая проводимость Yc являются взаимообратными величинами

и .

Из формул (15), (16) следует, что, значения характеристических параметров Zc и Yc однородной линии совпадают со значениями сопротивления и проводимости её полубесконечного отрезка и, вполне естественно, его полубесконечного участка [x¢,¥), если определить их отношениями

и .

Однако, в отличие от значений сопротивления и проводимости сосредоточенного пассивного двухполюсника, находящихся в правой комплексной полуплоскости, включая её границу, значения характеристического сопротивления и характеристической проводимости однородной линии, располагаясь в той же полуплоскости, занимают более узкую область, заключённую между биссектрисами первого и четвёртого квадрантов или на её границе.

Постоянная распространения и характеристическое сопротивление (характеристическая проводимость ) однородной линии представляют её характеристические параметры.

Таким образом, число постоянных интегрирования в комплексных характеристиках конечного участка [0, x¢] полубесконечного отрезка линии [0, ¥) (11), (12) сокращается до единицы, и их можно записать в одной из двух форм:

, , (0)

либо

, (0)

Значение потребляемой комплексной мощности PSп(x¢), в сечении x¢ полубесконечного отрезка линии вычисляется как обычно:

,

где PSп(0) – значение потребляемой комплексной мощности в начале отрезка.