55.Двумерные функции

Основные свойства двумерного преобразования Фурье можно получить из определения (см.1.1.).

В общем виде

где

Это можно показать, если в преобразование Фурье

ввести новые переменные, определяемые как

Пусть

Тогда из определения двумерного преобразования Фурье (см.1.1) имеем

Если ввести полярные координаты

и, таким образом, можно получить новую пару преобразований

т.е. поворот функции f(x,y) на угол θ₀ ведет к повороту преобразований Фурье F(u,v) на тот же угол.

Особый интерес представляет преобразование Фурье функций с разделяющимися переменными. Т.е. это такие функции, которые можно записать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной независимой переменной.

а в полярных координатах

f (r,ϕ) = f (r) f (ϕ) .

Фурье преобразование функции с разделяющимися переменными можно представить в виде произведения одномерных Фурье-преобразований

Особо можно выделить и двумерное преобразование Фурье функций, обладающих осевой симметрией. Функция обладает круговой симметрией если

Функцию с круговой симметрией в цилиндрических координатах можно записать как функцию только радиуса

Для этого случая преобразование Фурье имеет вид

Фурье-преобразование функции, имеющей осевую симметрию, само обладает осевой симметрией и может быть найдено путем выполнения одномерного действия. Этот вид преобразования встречается очень часто, особенно в оптике, и имеет свое название - преобразование Фурье-Бесселя или преобразование Ханкеля нулевого порядка.