3.8. Равномерное вращение сосуда с жидкостью

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью ω вокруг его вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная поверхность ее изменится.

В центральной части уровень жидкости опустится, у стенок она поднимется, и вся свободная поверхность жидкости станет поверхностью вращения (рис.3.13).

На жидкость будут действовать две массовые силы: единичная сила тяжести Fg = g и единичная центробежная сила Fцб = ω2r.

Проекции этих сил на оси координат дадут следующие выражения

X = (V2/r) Cos(r^x) = ω2r Cos(r^x)= ω2X

Y = (V2/r) Cos(r^y) = ω2r Cos(r^x)= ω2Y, Z = -g

Подставляя это выражение в выражение для дифференциала давления

dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz),

Получим

dp = ρω2 (Xdx + Ydy) –ρ gdz,

вынеся знак дифференциала за скобки, получим

dp = ρ(ω2/2)d(X2 + Y2) –ρ gdz,

после интегрирования получим выражение для определения давления в любой точке

p = ρ(ω2/2) (X2 + Y2) –ρ gz + С,

полагая в этом выражении Р – const, получаем уравнение изобарических поверхностей

ρ(ω2/2) (X2 + Y2) – ρgz + С1 = 0.

Это будут конгруэнтные параболоиды вращения с осью Oz. Один из этих параболоидов – свободная поверхность жидкости.

Обозначив через z0 координату вершины параболоида свободной поверхности, получим x = y = 0, откуда С1 = ρgz0,

ρ(ω2/2) (X2 + Y2) – ρgz + ρgz0 = 0

и уравнение поверхностей уровня свободной поверхности получит вид

Z –Z0 = (ω2/2) (x2 + y2) (3.27)

Уравнение свободной поверхности получит вид

ZП –Z0 . (3.28)

Если внешнее давление равно Р0 то, задав в уравнении для давления Р = Р0, x=y=0, z = z0 , находим постоянную С = Р0 + ρg z0. Тогда закон распределения давления выразится формулой

(3.29)

Пользуясь этими уравнениями можно определить положение свободной поверхности в сосуде, максимальную высоту Н подъема жидкости и высоту z0 = h расположения вершины параболоида при данной угловой скорости ω. Для этого необходимо использовать еще уравнение объемов: объем неподвижной жидкости равен её объему во время вращения.

На практике часто рассматривается вращение сосуда с жидкостью, когда угловая скорость ω столь велика, что силой тяжести можно пренебречь по сравнению с центробежными силами. При этом закон изменения давления в жидкости легко получить из формулы (3.29), в которой следует принять g(z0 - z) = 0.

Поверхности уровня примут вид цилиндров с общей осью - осью вращения сосуда. Если сосуд не был заполнен перед началом вращения, давление Р0 будет действовать не в центре, а при r = r0, вместо выражения (3.29) будем иметь

Р = Р0 + ρ ω2 (r —r2)/2g, (3.30)