Преобразование схем соединения сопротивлений «звезда» и «треугольник»

Часто встречаются схемы со сложным соединением элементов, которые нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному соединениям. К таким соединениям относятся схемы соединений «звезда» и «треугольник» (рис. а, б).

I₁

2

R₃₁

а б в

Схема соединения: а - «звезда; б - треугольник; в - к пояснению преобразования соединения схемы «треугольник» в схему «звезда»

На рис. б, показана схема с узловыми точками 1, 2, 3, к которым включены резисторы R₁₂, R₂₃, R₃₁.

Для упрощения схемы (рис. в) достаточно заменить схему «треугольник» с сопротивлениями R₁₂, R₂₃, R₃₁ эквивалентной схемой «звезда» с сопротивлениями R₁, R₂, R₃. Эквивалентность требует, чтобы в обеих схемах были одинаковые токи узлов, а также напряжения между узловыми точками. Схема представлена на следующем рисунке.

К пояснению преобразования схемы «треугольник» в схему «звезда»,

Сопротивления схемы «звезда», выраженные через сопротивления схемы «треугольник», будут равны:

R₁ = R₁₂R₃₁/(R₁₂ + R₂₃ + R₃₁)

R₂ = R₁₂R₂₃/(R₁₂ + R₂₃ + R₃₁)

R₃ = R₂₃R₃₁/(R₁₂ + R₂₃ + R₃₁)

Тогда эквивалентное сопротивление R_экв. схемы будет равно

R_экв= R₁+ [(R₂ + R₄)(R₃ + R₅)/((R₂ + R₄)+ (R₃ + R₅))],

Если схему «звезда» с сопротивлениями R₁, R₂, R₃ необходимо преобразовать в схему «треугольник» с сопротивлениями R₁₄ , R₄₃, R₃₁ , то сопротивления схемы «треугольник», выраженные через сопротивления лучей схемы «звезда», будут равны:

К пояснению преобразования схемы «звезда» в схему «треугольник»

R₁₂ = R₁ + R₂ + (R₁R₂)/R₃;

R₂₃ = R₂ + R ₃+ (R₂ R₃)/R₁;

R₃₁ = R₃ + R₁ + (R₃R₁)/R₂.