Лекция 4

источнике питания , . Комплексное сопротивление цепи , X_L = 2πƒL, R = 0, φ = arctg(X_L/R) = 90˚, X_L/0 = ∞, arctg ∞ = 90°. Ток цепи İ_L= /Z _L = Ue ^{j 0}/X_Le^{+j 90˚} = (U/X_L) e ^{–j 90˚} =

= I_L e ^{–j 90}. Мощность цепи S = Q_L= X_LI_L² , P = 0. Коэффициент мощности cos φ = 0 , φ = + 90º.

Трансформаторы, электрические двигатели, дроссели, кроме активного сопротивления обладают индуктивным сопротивлением. Индуктивностью обладают все проводники с током. В ряде случаев она мала и ею пренебрегают, но значительна там, где обмотки катушек состоят из большого числа витков провода.

Индуктивность возрастает, если магнитный поток замыкается по пути с малым магнитным сопротивлением (например, по стальному сердечнику).

Рассмотрим идеальную катушку с постоянной индуктивностью L, у которой активное сопротивление равно 0.

Электрическая цепь с индуктивным элементом

Пусть к цепи с приложено напряжение u = U_mахsinωt. Под действием напряжения в цепи возникает ток i, который создает магнитный поток Ф. Согласно закону электромагнитной индукции магнитный поток Ф индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции

е_L = -wdФ/dt = -Ldi/dt,

где w - число витков катушки.

Знак «минус» согласно принципу электромагнитной индукции (закон Ленца) указывает на то, что е_L всегда имеет такое направление, при котором она препятствует изменению магнитного потока или тока в цепи.

На рисунке показаны условные положительные направления напряжения u, тока i, ЭДС самоиндукции e_L на элементе с индуктивностью L. Условное положительное направление ЭДС е_L выбирают из условия, что ее действительное направление в любой момент времени противоположно напряжению на катушке u_L.

По II ЗК имеем u - u_L = 0, а с учетом того, что u_L = - е_L, получаем

u = e_L = 0

Тогда

U_mах sinωt – Ldi/dt = 0, или di/dt = U_mахsinωt/L.

При решении этого уравнения получаем выражение для тока в цепи

i = (U_mах/L)sinωtdt = - U_mахcosωt/ωL = U_mахsin - π/2)/ωL =

= I_mахsin(ωt - π/2).

Таким образом, в цепи с индуктивностью ток отстает от напряжения на угол π/2 и изменяется по синусоидальному закону.

Величина ωL имеет размерность сопротивления, Гн/с = В·с/А·с = = Ом.

Это индуктивное сопротивление

X_L = ωL = 2πfL.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности.

Тогда

I_mах= U_mах/X_L, или I = U /X_L.

Так как ЭДС самоиндукции численно равна напряжению на элементе с индуктивностью, то

X_LI = U = Е_L

Следовательно, индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током i и ЭДС самоиндукции e_L.

Запишем комплексные напряжение и ток цепи

= Ue ^j0, ψ_u = 0^o_;

İ = Ie ^-j90, ψ_i = - 90^o_.

Сдвиг по фазе между напряжением и током

φ = 0° – (-90° ) = +90^o

Комплексное сопротивление цепи

Z = /İ = Ue ^j0/Ie ^-j90 = X_Le^j90 = jX_L.

Таким образом, комплексное сопротивление цепи с L-элементом равно положительному мнимому числу.

Модуль комплексного сопротивления

Z = X_L

Мощность цепи с L-элементом

P = ui = U_mахsinωt - I_mахsin(ωt-90°) = -UIsin2ωt.

т. е. мгновенная мощность имеет только переменную составляющую. В первую и третью части периода ток направлен от цепи к источнику питания, а во вторую и четвертую – от источника питания к цепи. Таким образом, через четверть периода мощность меняет знак. Такая энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуется реактивной мощностью Q_L = UI, равной амплитуде мгновенного по направлению с ЭДС самоиндукции, мощность отрицательна и энергия передается от катушки к источнику питания, а во вторую и четвертую четверти периода энергия запасается в магнитном поле катушки.

Выразим полную мощность цепи в комплексной форме

S = = Se^jφ = UIcos90° + jUIsin90° = jUI

Q_L = UI = X_LI²,

_{где QL – реактивная мощность цепи} (вар, квар, мвар)_.

Полная мощность цепи с L-элементом равна реактивной мощности.

Векторная, временная диаграммы цепи с идеальной индуктивностью а также изменение мощности представлены на рисунках.

Временная диаграмма Векторная диаграмма

цепи с L-элементом с L- элементом