Комплексный метод расчета электрических цепей синусоидального тока

Все графические методы расчета цепей синусоидального тока не обеспечивают точного расчета электрических цепей, кроме того, они сложны и трудоемки.

Наиболее простым и точным методом расчета электрических цепей синусоидального тока является комплексный метод, основанный на теории комплексных чисел.

Синусоидальная величина изображается вращающимся вектором на комплексной плоскости с осями ±1 и ±j, где - мнимая единица, символ.

За положительное направление вращения вектора принято направление против часовой стрелки. За время, равное одному периоду, вектор совершает один оборот.

На рис. изображен вектор комплексного тока , которому соответствует комплексное число

Составляющие комплексного числа на комплексной плоскости

где I - модуль действующего значения тока, равный длине вектора;

где - действительная составляющая тока; - мнимая составляющая; y_i = arctg ( ) – аргумент тока, равный начальной фазе, т. е. угол между вектором и действительной полуосью +1 при t = 0.

Аргумент положительный, если вектор отложен в направлении против часовой стрелки, и отрицательный - если по часовой.

Комплексные значения синусоидальных величин обозначают несинусоидальных - z, S.

Над комплексными числами можно производить все алгебраические действия (при сложении и вычитании удобнее использовать алгебраическую форму, а при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня – показательную).

Алгебраическая форма записи:

.

Тригонометрическая форма записи:

İ = Icosy_i + jsiny_i .

Показательная форма записи:

İ = Ie^jyi .

Переход из одной формы записи в другую осуществляется по формуле Эйлера через тригонометрическую форму записи

e^±jα = cosα ± j sinα.

Например: İ = 10e ^j37º = 10cos37˚ + j10sin37º = 10 · 0,8 + j10 0,6 = = 8 + j6 = (8² + 6²)^1/2e^+jarctg6/8 = 10e^+j37º (А).

Поскольку e^±j90º = cos90º ± jsin90º = ±j, то умножение комплексного числа на + j приводит к увеличению его аргумента на 90º и повороту вектора на 90º против часовой стрелки (в положительном направлении), умножение на -j – к уменьшению аргумента на 90º и повороту вектора на 90º в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

При работе с комплексными числами используют и сопряженные комплексные величины, имеющие одинаковые модули и одинаковые по величине, но противоположные по знаку аргументы:

İ = 10e ^j37º, А; I* =10e^–j37º, А.

Произведение İ I* = 10e ^j37º 10e^–j37º = 100e^j0°, À.

Построение векторной диаграммы на комплексной плоскости

1. Определяют модуль и аргумент синусоидальной величины (тока, напряжения, ЭДС).

2. Задаются масштабом этих величин: m_U; m_I.

3. На комплексной плоскости от действительной оси +1 откладывают векторы в принятом масштабе (направление вектора – угол между осью +1 и вектором – аргумент тока, напряжения или ЭДС).