Материальная точка

Электромеханические аналогии уравнения Лагранжа-Максвелла

Электромеханическая система обладает не только механической, но и электрической (электромагнитной) энергией, сосредоточенной в элементах ее электрической цепи (индуктивностях, конденсаторах и резисторах).

Поскольку процессы в электрических цепях описываются также дифференциальными уравнениями, существуют определенные аналогии между механическими и электрическими величинами, описывающими поведение системы.

Первая система аналогий между механическими и электрическими цепями более "физична", поэтому в основном 6удем пользоваться ею, хотя в некоторых случаях применение второй системы дает более простые уравнения.

Из этой системы видно, что ЭДС в электрической цепи аналогична силе, индуктивность аналогична массе и обладает инерционностью, и энергия, запасаемая в магнитном поле, является кинетической энергией. Конденсатор, аналогично пружине, запасает энергию, которую логично считать потенциальной. Активное сопротивление действует аналогично механическому вязкому сопротивлению, и энергия, выделяемая на нем, рассеивается в виде тепла.

Тогда простейшей механической цепи, содержащей массу, пружину и вязкое сопротивление, и описываемой уравнением вида

можно поставить в соответствие простейшую электрическую цепь с последовательно включенными индуктивностью, емкостью и сопротивлением, описываемую уравнением

где L·q``- ЭДС самоиндукции, R·q`- падение напряжения на сопротивлении, S·q- напряжение на емкости.

Электромеханическую систему, имеющую S_m степеней механической свободы и S₁ независимых электрических контуров, учитывая электромеханические аналогии, можно представить в виде механической системы, имеющей S_m+S₁ степеней свободы и обладающей:

суммарной электромеханической кинетической энергией T_Σ=T_M+W_M;

потенциальной энергией П_Σ=П_М+W_Э;

мощностью рассеяния D_Σ=D_M+D_Э.

Отсюда движение в такой системе будет описываться уравнениями, аналогичными уравнениям Лагранжа и называемыми уравнениями Лагранжа-Максвелла :

Первые S_m уравнений описывают механические движения в системе (механические уравнения), последующие S₁ уравнений описывают процессы в электрических цепях (электрические уравнения - уравнения 2-го закона Кирхгофа).

Содержание