Математический маятник.

Небольшой шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, способен совершать свободное колебательное движение (Рис. 198). Для описания движения маятника будем считать шарик материальной точкой, пренебрежем массой нити и сопротивлением воздуха. Такая модель называется математическим маятником.

В качестве координаты, описывающей положение шарика, выберем угол отклонения нити от вертикали φ. Для описания изменения этой координаты удобно использовать уравнение динамики вращательного движения

, (1)

где - момент инерции системы, - угловое ускорение тела (вторая производная от угла поворота), M - суммарный момент внешних сил действующих на систему^[2]. На шарик действуют силы тяжести mg и натяжения нити. Момент силы натяжения нити относительно точки подвеса равен нулю, поэтому уравнение (1) для подвешенного шарика приобретает вид

, (2)

или

. (3)

Это уравнение описывает колебания маятника, но не является уравнением гармонических колебаний, так как момент сил пропорционален синусу угла отклонения, а не самому углу. Однако, если считать углы отклонения малыми (сколько это – мы выясним позднее), можно воспользоваться приближенной формулой в этом приближении уравнение (3) превращается в знакомое уравнение гармонических колебаний

, (4)

где - круговая частота малых колебаний маятника^[3]. Решение этого уравнения мы уже выписывали

, (5)

здесь φ₀ - максимальное отклонение нити, то есть амплитуда колебаний. Для простоты будем считать, что начальная скорость шарика равна нулю.

Период малых колебаний маятника выражается через круговую частоту

. (6)

Так как малые колебания математического маятника являются гармоническими, то их период не зависят от амплитуды. Этот факт был экспериментально отмечен еще Г. Галилеем. При больших углах отклонения период колебаний математического маятника незначительно возрастает.

Отметим, что период колебаний математического маятника не зависит также от массы шарика – вспомните, ускорение свободного падения, а также другие характеристики движения тела в поле тяжести Земли также не зависят от массы тела (если, конечно, пренебрегать сопротивлением воздуха). Формула (6) может быть использована и используется для экспериментального определения ускорения свободного падения. Длина нити и период колебаний достаточно просто измерить экспериментально, затем с помощью формулы (6) можно рассчитать ускорение свободного падения.

Попробуем описать движение математического маятника с помощью закона сохранения механической энергии. Кинетическая энергия шарика выражается формулой . Нулевой уровень отсчета потенциальной энергии совместим с точкой подвеса нити, тогда потенциальная энергия шарика равна . Уравнения закона сохранения механической энергии (с учетом начальных условий) имеет вид

. (7)

Это уравнение также не является уравнением гармонических колебаний. Но, если мы опять будем считать углы отклонения маятника малыми и воспользуемся приближенной формулой , то уравнение (7) перейдет в уравнение гармонических колебаний

,

или

, (8)

где обозначено - круговая частота колебаний, совпадающая с полученной из динамического уравнения (2).

Конечно, такое совпадение не является случайным – фактически в обоих подходах мы использовали одно и то же приближение малых углов отклонения.