Пружинный маятник.

Рассмотрим движение небольшого бруска массой m, расположенного на гладкой горизонтальной поверхности и прикрепленного к неподвижному упору с помощью легкой пружины жесткости k (Рис. 196). Положение бруска будем описывать с помощью декартовой координаты x, начало отсчета которой совместим с положением, в котором пружина не деформирована. При отклонении бруска от положения равновесия на него будет действовать сила упругости пружины , направленная к положению равновесия, ее модуль определяется законом Гука . На основании второго закона Ньютона и, пренебрегая трением, запишем уравнение, описывающее движение бруска

. (1)

Из этого уравнения следует, что ускорение бруска зависит от его координаты

, (2)

то есть пропорционально координате с отрицательным коэффициентом пропорциональности. Сравнивая с полученным ранее кинематическим уравнением, связывающим ускорение тела с его координатой

, (3)

мы убеждаемся в их полной тождественности. На основании этого мы делаем обоснованный вывод: в рассматриваемой системе брусок совершает гармонические колебания . Частота этих колебаний не зависит от их амплитуды и легко находится из сравнения уравнений (2) и (3), идентичность которых требует выполнения условия , или

. (4)

Период колебаний бруска равен

.

Полученные формулы для частоты и периода колебаний качественно легко объяснимы: частота колебаний возрастает с ростом жесткости пружины и убывает при возрастании массы груза.

Колебания, возникающие под действием внутренних возвращающих консервативных сил, называются свободными.

Подчеркнем, сейчас мы получили уравнение (2) на основании законов динамики, его совпадение с рассмотренным ранее кинематическим уравнением (3) заранее не предполагалось, это можно даже назвать «счастливым совпадением».

Закон движения бруска однозначно определяется при задании начальных условий. Зависимость параметров закона движения от начальных условий была рассмотрена нами ранее, поэтому здесь укажем только два крайних случая начальных условий.

Если мы отклоним брусок от положения равновесия на расстояние A и отпустим его без толчка (начальные условия: при t = 0 x₀ = A, υ₀ = 0), то закон движения будет иметь вид

. (5)

В другом предельном случае, когда бруску резким толчком сообщают начальную скорость (начальные условия: при t = 0 x₀ = 0, υ = υ₀), закон движения будет несколько иным

. (6)

Рассмотрим теперь описание движения небольшого шарика массой m, подвешенного на легкой пружине жесткостью k (Рис. 197). Направим ось Ox вертикально вниз, начало отсчета совместим с положением недеформированной пружины. В процессе движения на шарик действуют сила тяжести и сила упругости , модуль которой определяется законом Гука . Уравнение второго закона Ньютона в проекции на введенную ось имеет вид

. (7)

Так как сила упругости зависит от координаты шарика (следовательно, не постоянна), то движение шарика не будет равноускоренным. Понятно, что движение шарика будет колебательным, но, на первый взгляд, уравнение его движения (7) отличается от рассмотренного нами уравнения гармонических колебаний – присутствует постоянная составляющая mg. Преобразуем уравнение (7)

. (8)

Появившаяся в уравнении величина имеет наглядный смысл: она указывает положение равновесия шарика, в котором сила тяжести уравновешивается силой упругости . Теперь мы можем сместить начало отсчета оси координат, совместив его с положением равновесия. В этой измененной системе отсчета координата шарика равна , ускорение шарика и в новой системе отсчета остается прежним . Поэтому уравнение движения шарика в этой системе отсчета имеет вид, полностью совпадающий с уравнением гармонических колебаний

, (9)

с частотой . Таким образом, постоянная сила, действующая в колебательной системе, не изменяет частоты колебания, а только смещает положение равновесия. Полное решение уравнения движения (9) нам известно, поэтому можно также записать и полное решение уравнения (7) в исходной системе отсчета

, (10)

в котором произвольные постоянные A, B определяются из начальных условий.

Еще одним общим методом получения уравнения движения является использование закона сохранения энергии. Рассмотрим превращения энергии в ходе колебаний бруска на гладкой горизонтальной поверхности (Рис. 196). Для того чтобы вывести брусок из положения равновесия к нему необходимо приложить внешнюю силу. Эта сила должна совершить положительную работу, тем самым, сообщая системе энергию. Эта энергия «запасается» в виде потенциальной энергии деформированной пружины и равна . Если брусок еще и дополнительно толкнуть, то система получит дополнительную энергию в форме кинетической энергии бруска .

В процессе движения бруска происходят постоянные переходы энергии из потенциальной в кинетическую (когда брусок движется к положению равновесия – сила упругости совершает положительную работу, поэтому кинетическая энергия возрастает) и обратно - из кинетической в потенциальную (когда брусок удаляется от положения равновесия – работа силы упругости отрицательна, поэтому кинетическая энергия убывает).

Пренебрегая трением, закон сохранения механической энергии выражается уравнением

, (11)

в котором сумма кинетической энергии бруска и потенциальной энергии деформированной пружины остается постоянной величиной, которая легко выражается через начальные условия . В уравнении (11) неизвестной является зависимость координаты от времени x(t), скорость движения является производной от координаты по времени υ(t) = x′(t). Таким образом, с математической точки зрения уравнение (11) содержит неизвестную функцию и ее производную. Подставим в это уравнение закон движения, найденный нами из динамического уравнения (1):

. (12)

Зависимость скорости от времени описывается в этом случае функцией

. (13)

Не сложно убедится, что эти функции при подстановке в уравнение (11) превращают его в верное тождество (конечно, при ), следовательно, функция (12) является решением этого уравнения.

Таким образом, уравнение (12) также является уравнением гармонических колебаний, оно полностью эквивалентно (равносильно) уравнению (1).

Для доказательства этого утверждения достаточно взять производную по времени от уравнения (11):

,

при выводе учтено, что производная от постоянной энергии равна нулю; учитывая, что производная от координаты равна скорости x′ = υ, а производная от координаты есть ускорение υ′ = a, получаем после сокращения уравнение (1) . Можно также провести и обратный математический переход от уравнения (1) к уравнению (11).

Интересно отметить, что решение уравнения (11) можно найти «по теореме Пифагора». Действительно, предположим, что его решением является функция, изменяющаяся по «закону косинуса»; , тогда скорость будет изменяться «по закону синуса»: . По известному основному тригонометрическому тождеству сумма квадратов синуса и косинуса равна единице, следовательно, можно подобрать такое значение параметра ω, чтобы уравнение (11) приводило к этому тождеству. Подставляя записанные выражения для зависимостей координаты и скорости от времени в уравнение (11), получим

,

после очевидного преобразования

.

Чтобы это уравнение превратилось в тождество необходимо, чтобы выполнялось условие , из которого следует известная формула для периода колебаний. Амплитуда колебаний A выражается через полную энергию системы.

Подведем основной итог: если на основании физических законов (главным образом закона сохранения энергии) удалось показать, что некоторая переменная величина X(t) и ее производная V(t) = X′(t) связаны соотношением

то величина X изменяется по гармоническому закону, с круговой частотой ω.