Метод фазовой плоскости.

Метод фазовой плоскости – графоаналитический метод исследования динамических систем, приводимых к уравнениям вида:

Используется, как правило, для исследования нелинейных систем, когда линеаризация приводит к неудовлетворительным ошибкам, либо значительно ограничена в применимости по времени.

С помощью метода находят характеристики особых точек, изолированных замкнутых траекторий, позволяя оценить динамику разрабатываемой или исследуемой нелинейной динамической системы в широком диапазоне возможных начальных условий. Метод состоит в построении фазового портрета системы и последующего анализа этого портрета.

На фазовой плоскости обычно выделяют следующие три типа фазовых траекторий: особые точки, или положения равновесия, определяемые в результате решения системы уравнений ,изолированные замкнутые траектории, отвечающие периодическим движениям в системе.

Метод позволяет определить число, типы и характер особых точек, изолированных замкнутых траекторий и даёт возможность по виду фазовых траекторий наглядно представить всю совокупность движений, возникающих в динамической системе при всевозможных начальных условиях.

Особые точки классифицируют по характеру фазовых траекторий в их окрестности: основные типы особых точек изображены на рис. 20. Изолированные замкнутые траектории (предельные циклы) классифицируют по характеру их устойчивости (рис. 21).[1]

Рис.21. Фазовые траектории в окрестности особых точек следующих типов: а — устойчивый узел; б — неустойчивый узел; в — устойчивый фокус; г — неустойчивый фокус; д — седло; е — центр.

Рис.22. Фазовые траектории в окрестности различных предельных циклов, изображенных в виде замкнутых кривых; а — устойчивого; б — неустойчивого; в, г — полуустойчивых.

Ограничением метода является возможность использования его для систем выше второго порядка. В отдельных случаях путем замены переменных, уравнение третьего порядка может быть приведено к уравнению второго порядка, возможно применение метода, хотя заключение об устойчивости процессов усложняется.

К достоинствам данного метода можно отнести то, что по фазовому портрету мы можем судить об устойчивости системы и о состояниях равновесия (наглядность метода), а также о характере переходного процесса. Главный недостаток данного метода заключается в том, что он ограничен исследованием систем 2-го, 3-го порядка и что в данном методе предполагается отсутствие внешнего воздействия (система автономна). Уже для двухканальной системы этот метод применить нельзя из-за порядка сис­темы и наличия внешнего воздействия.