7. Понятие об уравнении состояния. Идеальный газ, его основные приближения и уравнение состояния. Обобщенное уравнение состояния системы

На странице, посвященной энергии, разъясняется, что главной причиной изменения состояния любой физической системы с любой формой движения является энергетическое воздействие на систему dW, являющееся модулем элементарного изменения энергии dW, как векторной величины. На данной странице для упрощения выкладок будем считать, что энергетическое воздействие влияет только на одну i-ую форму движения. Реально оно влияет на все формы движения в системе, но этот более сложный вариант будет рассмотрен на странице, посвященной закону сохранения энергии. Как уже было сказано на странице, посвященной характеристике системы, уравнение, связывающее энергетическое воздействие dW с приращением координаты состояния dq_i , называется уравнением состояния i-ой формы движения физической системы, и оно записывается в виде: dq_i = k_i dW , ( 4 ) где k_i − коэффициент пропорциональности.

Уравнение состояния идеального газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Клапейрона — Менделеева) — формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:

pV_m = RT,

где

p — давление,

V_m — молярный объём,

R — универсальная газовая постоянная

T — абсолютная температура,К

Так как V_m = V / ν, где ν — количество вещества, а ν = m / M, где m — масса, M — молярная масса, уравнение состояния можно записать:

pV = (m / M)*RT

Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева — Клапейрона.

В случае постоянной массы газа уравнение можно записать в виде:

pV / T = ν R,

pV / T =const

Последнее уравнение называют объединённым газовым законом. Из него получаются законы Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака:

Под идеальным газом будем понимать газ, между частицами которого взаимодействие настолько мало, что им можно пренебречь. Это предположение может быть обеспечено малостью взаимодействия частиц при любых расстояниях между ними, либо при достаточной разрежённости газа. Отсутствие взаимодействия между молекулами позволяет свести задачу об определении уровней энергии En всего газа в целом к определению уровней энергии отдельной молекулы (будем их обозначать ek, где индекс k представляет собой совокупность квантовых чисел, определяющих состояние молекулы, энергии En выразятся, как суммы энергий по молекулам). О бозначим через nk число частиц, находящихся в k-том квантовом состоянии (это так называемые числа заполнения различных квантовых состояний) и поставим задачу вычислить средние значения nk этих чисел, причём будем рассматривать случай, когда nk << 1. То есть мы рассматриваем достаточно разрежённый газ. (фактически это выполняется для всех обычных молекулярных или атомных газов). Условие nk << 1 означает, что в каждый момент времени в каждом квантовом состоянии реально находится не более одной частицы, в связи с этим можно пренебрегать не только непосредственным силовым взаимодействием частиц, но и их косвенным квантомеханическим взаимным влиянием. А это обстоятельство, в свою очередь, позволяет нам применить к отдельным молекулам формулу распределения Гиббса.

Соотношение

Давление газа пропорционально концентрации молекул и его абсолютной температуре

где k=1,38 · 10^-23Дж/К -постоянная Больцмана, n -концентрация молекул, Т  - абсолютная температура.

Используем  равенства для концентрации и числа молекул газа

получаем:

где R = 8,31 Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная

С учетом того, что количество вещества можно определить, зная массу газа и его молярную массу, получаем уравнение состояния идеального газа:

Уравнение состояния идеального газа можно переписать в виде:

где ρ -плотность газа.