Примеры решения задач.
1. Квадратная рамка со стороной а = 2 см, содержащая 100 витков, подвешена на упругой нити с постоянной кручения С = 10 мкНм/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линий индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию магнитного поля, если при пропускании по рамке тока I = 1А, она повернулась на угол = 60о.
Рамка будет находиться в равновесии, когда результирующий момент сил, действующий на рамку, равен нулю, т.е. М = М 1 + М 2 = 0, где М 1 – момент сил, действующих на рамку с током со стороны магнитного поля, М 2 – момент упругих сил.
М1 = ð m B sin ,
М2 = С.
Из условия равновесия
Ia2NB sin - Ñ = 0,
откуда:
B = Ñ / (Ia2NB sin ).
Подставим числовые значения:
В = 10 -360 / 14100 0.5 = 30 мТл.
2. Прямой бесконечный проводник имеет круговую петлю радиусом R = 80 см. Определить силу тока в проводнике, если известно, что в точке А магнитная индукция B = 12,5 мкТл.
По принципу суперпозиции индукция магнитного поля в точке А равна векторной сумме индукций магнитных полей, созданных бесконечно длинным проводником с током I (В 1) и круговым током в его центре (В 2).
В А = В 1 + В 2 .
Векторы В1 и В 2 на рисунке в точке А будут направлены в одну сторону перпендикулярно плоскости рисунка от нас, тогда можно записать
,
откуда:
.
Подставим числовые значения:
А.
3. Квадратная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником с током I0 = 5 А. Сторона рамки а = 8 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в n = 1,5 раза больше стороны рамки. Найти поток вектора В через поверхность рамки.
Прямой проводник с током создает вокруг себя неоднородное магнитное поле с индукцией
В = 0I0 / 2r .
dФ m = B dS cos 0 = B а dr = 0I 0a dr / (2r).
Полный поток вектора В через поверхность рамки:
.
Подставим числовые значения:
ФВ = 4*10–7*5*0,08*(ln 2) / 2 = 5,545*10–8 (Вб).
РЕШЕНИЕ
Так как силовые линии магнитного поля замкнуты, то магнитный поток и индукция магнитного поля в сердечнике и в воздушном зазоре одинаковы: В1 = В2. Для решения задачи воспользуемся теоремой о циркуляции вектора Н (т.к. циркуляция Н определяется только макротоками и не зависит от наличия или отсутствия магнетика). Выберем замкнутый контур вдоль силовой линии и вычислим циркуляцию вектора напряжённости:
,
где Н1 и Н2 – напряжённости магнитного поля в сердечнике и вне его, l1 и l2 – длина железного сердечника и межполюсного пространства.
Так как H2 = B2/0 = B1/0, то
H1l1 + B1l2/0 = NI . (1)
Поскольку величина В1 известна по условию задачи, то величину Н1 найдём из графика зависимости В = Â(H) (Прил. 1):
при В = 1,4 Тл, Н = 800 А/м .
Из уравнения (1) определим число ампер–витков электромагнита:
(NI) = 800*0,4 + 1,4 *0,01/(4*3,14*10–7) = 1,14*104 А -вит .
Величину ЭДС вычислим по закону Ома:
= IRпров = Il пров/S = IDN / S = IDN / S.
Подставим числовые значения:
= 1,7*10–8*3,14*0,05*1,14*104/10–6 = 31 В.
Для определения толщины обмотки нужно знать общее число витков N и число витков N1 в одном слое обмотки.
N1 = l 1 / d,
где l1 – длина сердечника, d – диаметр провода обмотки (d = ), тогда
N 1 = l 1 / = 0.4 / = 354 витка .
Зная число ампер–витков и предельно допустимое значение силы тока (I = jS), определим общее число витков N:
N = (NI) / (jS) = 1,14*10 4 / (3*106*10–6) = 3800 витков.
Число слоёв:
k = N / N1 = 3800/354 11.
Тогда толщина обмотки
b = dk = k = 11 = 12.410 -3 м 12 мм.
5. Квадратная рамка с током I = 1 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником, по которому течёт ток I0 = 5 А. Сторона рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в n = 1,5 раза больше стороны рамки. Найти:
-
силу, действующую на рамку;
-
работу, которую нужно совершить для поворота рамки вокруг её оси на 180, если токи поддерживают неизменными.
1) Прямой длинный проводник с током I0 создаёт вокруг себя неоднородное магнитное поле с индукцией B0=0Io/2r, которая уменьшается с увеличением расстояния от проводника. В таком магнитном поле на каждую сторону квадратной рамки с током будет действовать сила Ампера, направление которой можно определить по правилу левой руки, а величину по формуле FA=IB0lsin .
.
Следовательно, результирующая этих двух сил равна нулю. Силы F 1 и F 3 противоположны по направлению, но не равны по величине:
F1 = I0I0a / (2a) = 0I0I / (2).
F3 = I0Ia / (22a) = 0I0I / (4).
Так как сила F1 в два раза больше силы F3, то результирующая этих сил будет совпадать по направлению с силой F1, а по величине равна:
F = F1 – F3 = 0I0I / (2) – 0I0I / (4) = 0I0I / (4).
Подставим числовые значения
F = 4*10–7*1*5 / (4) = 5*10–7 Н = 0,5 мкН.
2) Работу, необходимую для поворота рамки с током I на 180 можно определить по формуле:
А = IФ = I(Ф2 – Ф1),
где Ф1 и Ф2 – магнитные потоки, пронизывающие рамку в начальном и конечном состояниях. Так как магнитное поле проводника с током I0 неоднородное, сначала определим магнитный поток через элементарную площадку dS = a dr, в пределах которой индукцию магнитного поля можно считать постоянной величиной
dФ = B0dS cos ,
а полный магнитный поток сквозь рамку в начальном и конечном состояниях будет равен
.
.
Так как 1 = 0, 2 = 180, (cos 1 = 1, cos 2 = –1), то:
Ф = Ф2 – Ф1 = – 0aI0 (ln 2) / (2) – 0aI0 (ln 2) / (2) = –0aI0 (ln 2) / ,
и работа будет равна:
А = IФ = –0aI0I (ln 2) / .
Подставим числовые значения:
А = –4*0,1*1*5*0,69*10–7/ –1,4*10–7 Дж = –0,14 мкДж .
РЕШЕНИЕ
U = i = –dФ/dt. (1)
Для однородного магнитного поля и плоской поверхности Ф = BS cos , или подставив в (1) получаем (знак минус опустим, так как необходимо найти только величину Э.Д.С.):
U = d(BS cos )/dt . (2)
В данном случае В и cos не зависят от времени. Кроме того, по условию задачи cos = 1, поэтому из выражения (2) следует
U = B dS/dt = B d[(l + a)2 – a2]/2dt . (3)
d = dt = (2n)dt . (4)
Подставляя (4) в (3) получим:
B*2n(l2 + 2la) /2 .
U = 10–3*2*2 (1,22 + 2*1,2*0,25)/2 = 0,0128 В = 12,8 мВ.
7. Прямой проводник длиной l = 10 см помещён в однородное магнитное поле с индукцией В = 1 Тл. Концы проводника замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление внешней цепи R = 0,4 Ом. Какая мощность потребуется для того, чтобы двигать проводник перпендикулярно линиям индукции с постоянной скоростью v = 20 м/с?
Проведём анализ условия задачи. При движении проводник будет пересекать линии индукции. За счёт этого в проводнике возникнет ЭДС индукции
= – dФ/dt, (1)
где в данном случае
dФ = BdS = Blvdt . (2)
Подставляя (2) в (1), получаем:
= – Blv .
Сила индукционного тока в цепи согласно закону Ома
I = / R = – (Blv)/ R..
Тепловая мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении
Pтепл = I2R = B2l2v2/R .
Эта мощность будет равна мощности, которую необходимо подводить к системе за счёт внешней силы, действующей на проводник, для того, чтобы скорость движения проводника была постоянной. Таким образом:
P = B2l2v2/R = 1*0,01*400/0,4 = 10 Вт.
РЕШЕНИЕ
Данная задача относится к разделу взаимной индукции. Сила тока во вторичной обмотке
I2 = 2 /R 2 . (1)
Величина 2 зависит от взаимной индуктивности L12 и быстроты изменения силы тока I1:
2 = –L12dI1/dt = –L12I1/t = –L12(I1 – I01)/t.. (2)
Взаимная индуктивность двух соленоидов, имеющих общий сердечник
L12 = 0n1n2lS. (3)
Собственные индуктивности
L1 = 0n12lS , (4)
L1 = 0n22lS, (5)
поэтому, учитывая выражения (3),(4),(5), получаем
L 12 = . (6)
Подставляя выражение (6) в выражение (2), а полученный результат в выражение (1), получаем:
I 2 = (L 12I 01) / R 2 = (I 01) / R 2t .
I 2 = = 0.2 А.
РЕШЕНИЕ
Решим задачу двумя способами.
1) Энергия магнитного поля – это энергия, запасённая в индуктивности:
W m = LI2/2 .
где: L – индуктивность, I – сила тока, протекающего в индуктивности.
Потокосцепление, согласно определению индуктивности, равно:
= LI, = NФ m,
где Ф m – магнитный поток через поперечное сечение S тороида.
Ф m = ,
где r – расстояние от центра тороида до площадки dS, на которой определяется величина индукции магнитного поля. Так как тороид квадратного сечения, то высота площадки h = (r 2 - r 1), а ширина - dr. Поэтому:
Ф m = 0NI(r 2 - r 1) = 0NI(r 2 - r 1)ln .
Тогда индуктивность тороида
L = = 0N 2 (r 2 - r 1)ln .
Подставляя выражение для индуктивности в выражение для энергии, получаем:
W m = 0N2(r2 – r1)I2 ln(r2/r1) / (4) .
W m = 100*4*10–7*106*10–3*1*ln2 /(4) = 6,9 мДж.
2) Энергия магнитного поля W m связана с плотностью энергии w m соотношением
W m = ,
где:
w m = 0Н 2 / 2.
Внутри тороида:
Н = NI / l = NI / 2r.
Выберем в качестве элемента объема dV - объем цилиндрического слоя радиуса r, высотой h = (r 2 - r 1) и толщиной dr (в пределах этого слоя величина Н постоянна). Запишем выражение для dV = (r2 – r1)2r dr и подставим в выражение для энергии Wm. Получаем:
W m = 0N 2 I 2(r 2 - r 1)ln.
Подставим числовые значения и получим:
W = 6,9 МДж.
Как видим, оба решения дают одно и то же значение.
Примечание: если в условии задачи величина не задана, а указано, что тороид представляет собой железный, стальной или чугунный сердечник, то величина находится по графику зависимости В = В(Н), (Прил. 1) как:
= В / 0Н
В качестве величины Н принять значение Н в центральной точке поперечного сечения тороида.
- Электростатика и постоянный ток. Магнетизм
- Электростатика и постоянный ток.
- Электрический заряд. Закон сохранения заряда. Закон Кулона. Напряженность поля.
- Принцип суперпозиции электрических полей.
- Поток напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.
- Потенциал электростатического поля. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении в нём электрического заряда.
- Примеры применения теоремы Гаусса к расчёту электростатических полей в вакууме.
- Электрическое поле в диэлектрических средах. Дипольные моменты молекул диэлектрика. Поляризация диэлектрика.
- Теорема Гаусса для электростатического поля в среде.
- Условия для электростатического поля на границе раздела изотропных диэлектрических сред.
- Проводники в электростатическом поле. Электроемкость проводника.
- Взаимная ёмкость. Конденсаторы.
- Потенциальная энергия системы точечных зарядов. Энергия заряженного проводника и электрического поля.
- Постоянный электрический ток. Сила и плотность тока.
- Законы постоянного тока. Сторонние силы.
- Правила Кирхгофа
- Примеры решения задач
- Задачи для самоконтроля.
- Контрольное задание № 3.
- Магнетизм
- Магнитное взаимодействие проводников с токами. Контур с током в магнитном поле.
- Циркуляция магнитного поля ( закон полного тока ) в вакууме. Теорема Гаусса для магнитного поля.
- Работа перемещения проводника с током в постоянном магнитном поле.
- Движение заряженных частиц в магнитном и электрическом полях.
- Магнитные моменты электронов и атомов. Намагниченность вещества.
- Магнитное поле в веществе. Циркуляция магнитного поля (закон полного тока) в веществе.
- Условия для магнитного поля на границе раздела изотропных сред.
- Виды магнетиков.
- Электромагнитная индукция. Основной закон электромагнитной индукции.
- Явление самоиндукции.
- Взаимная электромагнитная индукция.
- Энергия магнитного поля в неферромагнитной изотропной среде.
- Система уравнений Максвелла.
- Примеры решения задач.
- Задачи для самостоятельного решения.
- Контрольное задание № 4.
- Беликов б. С. Решение задач по физике. Общие методы: [Учеб. Пособ. Для вузов].–м.: Высш. Школа, 1986. 255 с.