Энергия взаимодействия электрических зарядов

1. При перемещении электрических зарядов силы кулонова взаимодействия между ними совершают определенную работу А. Очевидно, что мы должны приписать всякой системе зарядов определенную энергию взаимодействия, за счет убыли которой и совершается работа А:

Энергию взаимодействия зарядов W мы часто будем называть просто электрической энергией.

2. Исходя из (15.1), подсчитаем прежде всего энергию двух точечных зарядов е\ и е2, находящихся на расстоянии R12 друг от друга. Всякое изменение взаимного расстояния зарядов сопровождается работой электрических сил. Предположим, например, что заряд е2 остается неподвижным, тогда как заряд е\ перемещается в поле заряда е2 из точки Pi в точку Р[. Если ф1 — = е2/R12 — потенциал поля заряда е2 в точке Р\, а ф + dф\ — в точке Р[, то работа А электрических сил при этом перемещении равна А — —е1 dф1, откуда А = —dW = —е1 dф1, и, следовательно.

Ввиду того, что наблюдению доступны лишь изменения энергии, а не ее абсолютная величина, мы для простоты опустили здесь аддитивную постоянную интегрирования, от взаимного расположения зарядов не зависящую (ср. сказанное о собственной энергии зарядов в конце следующего параграфа). В связи с этим единственно учитываемая нами переменная часть энергии W может принимать и отрицательные значения х).

К тому же выражению для W мы пришли бы, конечно, рассматривая перемещение заряда в2 в поле неподвижного заряда е\ или, наконец, одновременное перемещение обоих зарядов.

Обозначая через ф2 потенциал заряда е\ в точке, занимаемой зарядом е2 (ф2 = ei/R12), можно вместо (15.2) написать

Удобнее же всего взаимную электрическую энергию зарядов г\ и ег записать в симметричной форме:

Чтобы определить энергию системы п точечных зарядов ег (г = 1, 2, ..., п), мы, очевидно, для каждой пары этих зарядов

должны написать выражения типа (15.2) или (15.3) и сложить все эти выражения. Собирая затем все члены суммы, в которые входит сомножителем убедимся, что коэффициент при который мы обозначим через фк/2, будет равен

где фkl — потенциал заряда ег в точке, занимаемой зарядом ек.

Выражение в скобках представляет собой, очевидно, значение потенциала поля всей системы зарядов в точке, занимаемой зарядом eк, или, вернее, потенциал всей системы зарядов, кроме самого заряда ек (потенциал фкк заряда ек в занимаемой им самим точке поля в выражение для фк не входит, да и вообще физического значения не имеет, ибо обращается в бесконечность). Итак, взаимная энергия системы п зарядов равна

где фk — потенциал поля в точке, занимаемой зарядом ек-

Чтобы выяснить зависимость W от взаимного расстояния зарядов, воспользуемся формулой (8.6), которая в наших теперешних обозначениях запишется следующим образом:

где суммирование должно быть распространено по всем индексам г, кроме i = к. Внося это в (15.4), получим

Формулу эту можно, конечно, получить и непосредственно из выражения (15.2) взаимной энергии пары зарядов. Появление же коэффициента 1/2 перед знаком суммы объясняется тем, что в эту сумму энергия каждой пары зарядов входит дважды; так, например, в ней встретится как член e2е1/R21-, так и равный ему член e2е1/R21-

3. Как и всегда, при пользовании представлением о точечных зарядах нужно помнить, что приведенные формулы могут применяться лишь в тех случаях, когда заряды системы отделены друг от друга расстояниями, достаточно большими по сравнению с размерами этих зарядов. Чтобы освободиться от этого ограничения, перейдем к рассмотрению объемных и поверхностных зарядов. Разлагая систему этих зарядов на совокупность элементарных зарядов pdV и adS, применяя к последним формулу

(15 4) и переходя от суммирования к интегрированию, получим

гдеф — потенциал поля всех объемных и поверхностных зарядов в элементе объема dV или на элементе поверхности dS.

Хотя и может казаться, что уравнение (15.6) представляет собой только видоизменение уравнения (15.4), соответствующее замене представления о точечных зарядах представлением о зарядах объемных и поверхностных, однако в действительности уравнения эти разнятся по своему содержанию. Именно, в следующем параграфе мы покажем, что формула (15.6) выражает полную энергию системы электрических зарядов, тогда как формула (15.4) не учитывает так называемой собственной энергии зарядов eк.

Пример 1. Энергия точечного заряда и диполя во внешнем электрическом поле. Часто приходится рассматривать работу электрических сил при перемещениях некоторого заряда е в заданном «внешнем» поле других зарядов, остающихся при этом неподвижными. Взаимная энергия этих «внешних» зарядов (а также и собственная энергия их и заряда е — см. § 16) остается при этом неизменной; переменная же часть энергии поля, за счет которой совершается работа электрических сил, носит название энергии заряда е во внешнем поле. Она равна, очевидно,

где ф — потенциал внешнего поля в точке, занимаемой зарядом е. Формула (15.2) представляет собой частный случай формулы (15.7).

Если во внешнем поле находятся два заряда, е > 0 и е' = — —е, образующие диполь бесконечно малой длины I (см. с. 47), то энергия этих зарядов во внешнем поле равна

где ф и ф' — потенциалы внешнего поля в полюсах диполя. Но с точностью до величин второго порядка малости

Стало быть,

где р — момент диполя [см. уравнение (8.9)], а Е — напряженность внешнего поля в месте расположения диполя. Конечно, в этом выражении не учитывается взаимная энергия зарядов диполя, которая изменяется лишь при изменении длины диполя I.