Материальная точка. Механическое движение. Связь кинематических переменных для простейших видов движения

Материальная точка – это тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Во многих случаях разм. тела можно пренебречь, т. к. размеры этого тела малы по сравнению с расстоянием, которое проходит это тело, или по сравнению с расстоянием между этим телом и другими телами. Такое тело для упрощения расчетов условно можно считать материальной точкой, имеющей массу этого тела.

Практически под материальной точкой понимают обладающее массой тело, размерами и формой которого можно пренебречь при решении данной задачи. Например, при расчёте пути, пройденного поездом, можно пренебречь его размерами, даже если путь измеряется сантиметрами.

При прямолинейном движении тела достаточно одной координатной оси для определения его положения.

Особенности Масса и положение мат. т. в каждый конкретный момент времени полностью определяют её поведение и физ. св-ва. Пренебречь размерами объекта можно только тогда, когда он описывается моделью механ. системы, обладающей только поступательными, но не внутренними степенями свободы. Другими словами, материальная точка — простейшая механическая система, обладающая минимально возможным числом степеней свободы при данной размерности пространства.

Следствия Механическая энергия может быть запасена материальной точкой лишь в виде кинетической энергии её движения в пространстве, и (или) потенциальной энергии взаимодействия с полем. Это автоматически означает неспособность мат. т. к деформациям (материальной точкой может быть названо лишь абсолютно твёрдое тело) и вращению вокруг собственной оси и изменениям направления этой оси в пр-ве . Вместе с этим модель движения тела, описываемого мат. т., которое заключается в изменении её расстояния от некоторого мгновенного центра поворота и двух углов Эйлера, которые задают направление линии, соед. эту точку с центром, чрезвычайно широко исп. во многих разделах механики.

Ограничения Ограниченность применения понятия о мат. т. видна из такого примера: в разреженном газе при высокой температуре размер каждой молекулы очень мал по сравнению с типичным расст. между молекулами. Казалось бы, им можно пренебречь и считать молекулу мат. т. Однако это не всегда так: колебания и вращения молекулы — важный резервуар «внутренней энергии» молекулы, «ёмкость» которого определяется размерами молекулы, её структурой и хим. св-вами. В хорошем приближении как мат. т. можно иногда рассматривать одноатомную молекулу (инертные газы, пары металлов, и др.), но даже у таких молекул при достаточно высокой температуре наблюдается возбуждение электронных оболочек за счёт соударений молекул, с последующим высвечиванием.

Перемещение мат. т. происходит в пр-ве и изменяется со временем. Реальное пр-во трехмерно, и положение материальной точки в любой момент времени полностью определяется тремя числами — ее координатами в выбранной системе отсчета. Число независимых величин, задание которых необходимо для однозначного определения положения тела, называется числом его степеней свободы. В качестве системы координат выберем прямоугольную, или декартову, систему координат. Для описания движения точки, кроме системы координат, необходимо еще иметь уст-во, с помощью кот. можно измерять различ. отрезки времени. Такое устройство назовем часами. Выбранная система координат и связанные с ней часы образуют систему отсчета.

Д екартовы корд. X,Y,Z определяют в пр-ве радиус-вектор z, острие которого описывает при его изменении со временем траекторию мат. т. Длина траектории точки представляет собой вел. пройденного пути S(t). Путь S(t)— скалярная величина. Наряду с величиной пройд. пути, перемещение точки характеризуется направлением, в кот. она движется. Разность двух радиус-векторов, взятых в различ. моменты времени, образует вектор перемещения точки (рисунок).

Для того чтобы характеризовать, как быстро меняется положение точки в пр-ве, пользуются понятием скорости. Под ср. скоростью движения по траектории за конечное время t понимают отношение пройденного за это время конечного пути S ко времени: Скорость движения точки по траектории — скалярная велич. Наряду с ней можно говорить о ср. скорости перемещения точки. Эта скор. — величина, напр. вдоль вектора перемещения, Если моменты времени t₁, и t₂ беск. близки, то время t беск. мало и в этом случае обозначается через dt. За время dt точка проходит беск. малое расстояние dS. Их отношение образует мгновенную ск. точки. Производная радиус-вектора r по времени определяет мгновенную ск. перем т. Поскольку переем. совпадает с бесконечно малым элементом траектории dr = dS, то вектор скорости направлен по касательной к траектории.

Мех. Движ. тела наз. изм. положения тела в пр-тве относительно других тел с теч. времени. Виды мех. движ. – прямолин. равномерное, прямолин равноускор, равном движ по окружности.

В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным и криволинейным. Движ называется прямолин и равномерным, если за любые сколь угодно малые равные промежутки времени тело соверш одинак перемещения.

Механическое движение характериз. тремя физ величинами: перемещением, скоростью и ускорением.

Направленный отрезок прямой, проведенный из начального полож движущейся точки в ее конечное полож, называется перемещ (s). Перемещ — величина векторная. Ед перемещения — метр.     Скорость — векторная физ вел, характериз быстроту перемещ тела, численно равная отнош перемещ за малый промежуток времени к величине этого промежутка. Промежуток времени считается достат малым, если скор. при неравномерном движ в теч этого промеж не менялась. Определяющая ф-ла ск. имеет вид v = s/t. Ед ск — м/с. На практике ис ед изм ск км/ч (36 км/ч = 10 м/с). Изм ск спидометром.     Ускорение — вект физ величина, характериз быстроту измен ск, численно равная отношению измен ск к промежутку врем, в теч которого это изменение произошло. Если ск изменяется одинак в теч всего времени движения, то уск можно рассчитать по ф-ле Единица ускорения — .      Характеристики механического движения связаны между собой основными кинематическими уравнениями:     Предположим, что тело движ без ускорения, его скорость в теч продолжительного времени не меняется, а = 0, тогда кинематич уравнения будут иметь вид:      Движ, при кот ск тела не меняется, т. е. тело за любые равные промежутки времени перемещается на одну и ту же величину, наз равномерным прямолинейным движением.    Во время старта скорость ракеты быстро возрастает, т. е. ускорение а > 0, а = const.     В этом случае кинематические уравнения выглядят так:       При таком движ ск и ускор имеют одинак направления, причем ск изменяется одинак за любые равные промежутки времени. Этот вид движения называют равноуск.     При торможении автомобиля ск уменьш одинак за любые равные промежутки врем, уск направлено в сторону, противоп движ; т.к скорость уменьш, то ур-я принимают вид         Такое движение называют равнозамедленным.     Все физ велич, характериз движение тела (ск, уск, перемещ), а также вид траект, могут изм при переходе из одной системы к другой, т. е. хар-тер движ зависит от выбора сист отсчета, в этом и проявляется относительность движ. Напр, в воздухе происходит дозаправка самолета топливом. В сист отсчета, связанной с самолетом, другой самолет нах в покое, а в сист отсчета, связанной с Землей, оба самолета нах в движении. При движ велосипедиста точка колеса в сист отсчета, связанной с осью, имеет траекторию, представленную на рисунке 1.     В системе отсчета, связанной с Землей, вид траектории оказывается другим (рис. 2).     

2. Инерциальные системы. Законы Ньютона. Инерц сист отсчета – это сист, относит кот мат точка при отсутствии на нее внешних воздействий или их взаимной компенсации покоится или движется равномерно и прямолин. Инерц явл и сист отсч, кот движ равном и прямолин относительно какой-либо инерц сис. отсч. Галилей установил, что никакими мех опытами, поставленными внутри инерц сис отсч, невозм установить, покоится эта сист или движется равном и прямолин. Это утвержд  назыв принципа относит Галилея или механич принципа относит. принцип был далее развит Эйнштейном и явл одним из постулатов спец теории относит. Инерциальные сист отсч играют в физике исключ важную роль, т к, согласно принципу относит Эйнштейна, матем выраж любою закона физики имеет одинак вид в каждой инерц сис отсч. с. отсч, в кот 1закон Ньютона не вып, назыв неинерц. 1закон Ньютона гласит: сущ сист отсч (называемые инерциальными), в кот замкнутая сист продолж оставаться в сост покоя или прямолин равном движ. По сути, этот закон постулирует инертность тел. Это может казаться очевидным сейчас, но это не было очевидно на заре исследований природы. Так, напр, Аристотель утверждал, что прич всякого движ явл сила, т. е. у него не было движения по инерции. Инерциальная сист отсч - это система отсчёта, связанная со свободным невращающимся телом. Свободное тело — тело, не взаимод с др телами. 2закон Ньютона — дифференциальный закон движ, описывающий взаимосвязь между прилож к телу силой и уск этого тела.2закон Ньютона утверждает, что уск, кот получает тело, прямо пропорционально приложенной к телу силе и обратно пропорционально массе тела. Этот закон записывается в виде формулы: = где — уск тела, — сила, приложенная к телу, а m — масса тела. Или, в более известном виде: = Если на тело действуют неск сил, то во 2 законе Ньютона под подразум равнодействующая всех сил. В случае, если масса тела меняется со временем, то 2 закон Ньютона записывается в более общем виде:

где — импульс (кол-во движения) тела, t — время, а — производная по времени. 2закон Ньютона действителен только для скоростей, много меньших скорости света и в инерциальных сист отсч. В данном законе как частный случай заключен 1закон Ньютона. Это можно видеть если = 0 (т.е. если на тело не действуют силы или равнодейств сил равна 0) при этом соответств получаем что и = 0, а значит, тело сохраняет состояние покоя или равномерн прямолин движ.

3 закон Ньютона объясн, что происходит с двумя взаимод телами. Сам закон: Тела действуют друг на друга с силами, направленными вдоль одной и той же прямой, равными по модулю и противоположными по направлению. Ḟ₁=-Ḟ₂

Выводы Из законов Ньютона сразу же следуют некоторые интересные выводы. Так, третий закон Ньютона говорит, что, как бы тела ни взаимодействовали, они не могут изменить свой суммарный импульс: возникает зак сохр импульса. Далее, надо потребовать, чтобы потенциал взаимодействия двух тел зависел только от модуля разности координат этих тел U(|r₁-r₂|). Тогда возникает закон сохранения суммарной механической энергии взаимодействующих тел:

Зак Ньютона явл осн законами механики. Из них могут быть выведены все остальные зак механики.

Комментарии к законам Ньютона Силы инерции Зак Ньютона, строго говоря, справедливы только в инерциальных сист отч. Если мы честно запишем уравн движ тела в неинерц сист отсч, то оно будет по виду отличаться от 2закона Ньютона. Однако часто, для упрощ рассмотр, вводят некую фиктивную «силу инерции», и тогда эти уравн движ перепис в виде, очень похожем на 2 закон Ньютона. Математич здесь все корректно, но с точки зрения физики новую фиктивную силу нельзя рассматр как нечто реальное, как результат некоторого реального взаимод. Ещё раз подчеркнем: «сила инерции» — это лишь удобная параметризация того, как отличаются законы движения в инерц и неинерц сист отсч.