Вопрос 5. Закон всемирного тяготения. Зависимость веса тела от высоты над уровнем моря и геог-кой широты. Гравитационное поле.

Все физические тела испытывают действие сил взаимного тяготения. Основной закон, определяющий силы тяготения, был сформулирован Ньютоном и носит название закона тяготения Ньютона. Закон гласит: между любыми двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения, прямо пропорциональные произведению масс этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними:

Коэффициент f называется гравитационной постоянной (постоянной тяготения). Он численно равен силе взаимного притяжения между двумя материальными точками одинаковой единичной массы, которые находятся друг от друга на расстоянии, равном единице длины. Гравитационная постоянная определяется опытным путем, f = (6,67-+0,01).10^-11Н.м²/кг², (Кавендиш в 1798 г.).

При определении силы взаимного тяготения между двумя телами, которые нельзя считать точками, поступают следующим образом. Разбивают все тело на такие малые частицы, которые можно принять за точки, выбирают во втором теле одну частцу и определяют равнодействующую сил притяжения со стороны всех частиц первого тела. Затем проделывают то же самое для всех остальных частиц второго тела и берут сумму; эта сумма и представляет силу действия первого тела на второе. По третьему закону Ньютона определяют силу, действующую на первое тело.

Вычисления, проделанные для шаров из однородного вещества, показывают, что результирующая сила тяготения приложена в центре каждого щара и равна fm₁m₂/R² (R – расстояние между центрами). Т.о закон тяготения в форме (1) верен как для материальных точек, так и для шаров из однородного материала.

Из закона всемирного тяготения можно определить массу Земли. Т.к. сила тяжести mg, действующая на тело массы m, находящееся на поверхности Земли, является силой гравитационного взаимодействия этого тела с Землей, то Mg = fmM_з/R², откуда М_з = gR²/f. М_з = 6.10²⁴ кг.

Далее, сила тяготения, действующая со стороны Солнца массы М₀ на Землю массы М_з, является центростремительной силой, т.к. Земля приблизительно равномерно вращается вокруг Солнца по окружности радиуса R, равного расстоянию от Земли до Солца. Тогда

М_зV²/R = fM₃M₀/R². (2)

Учитывая, что орбитальная скорость Земли V равна 2R/Т, находим массу Солнца: M₀ = V²R/f = 4²R³/fT², где Т – период обращения Земли вокруг Солнца.

По этой же формуле может быть найдена и масса планеты М_п, если вокруг нее на расстоянии R_п обращается спутник m_с с периодом Т_с.

Расстояние от планеты до спутника также находится из формулы (2) или 4²R/T² = fM₀/R², откуда искомое расстояние

где Т – период обращения планеты вокруг Солнца.

Напомню, что весом тела называют силу, с которой это тело действует вследствие тяготения к Земле на опору (или на подвес), удерживающую тело от свободного падения.

Вес тела проявляется только тогда, когда тело движется с ускорением, отличным от g, т.е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости.

Вес тела зависит от высоты его положения над уровнем моря и географической широты местности.

Так, если на уровне моря сила тяготения, действующая на тело массы m со стороны Земли, равна F₀ = fmM₃/R² (здесь R = 6370 км –радиус Земли),

то на высоте h над уровнем моря F = fmM₃/(R + h)².

Взяв отношение этих сил, получим F₀/F = (R + h)²/R²  1 + 2h/R. Член h²/R² – мал по ср. с другими и им пренебрегаем. Тогда F = F₀/(1 + 2h/R) = F₀ ( 1 + 2h/R)^-1 = F₀( 1 – 2h/R),

Т.е. с возрастанием высоты тела h над уровнем моря действующая на него сила тяготения, проявляющаяся как вес тела, уменьшается.

Наличие вблизи взвешиваемых тел гор, участков земной коры с аномальной плотностью и т.п. также влияет на величину их веса. На этом основан один из методов определения плотности горных пород, разведки полезных ископаемых и т.д. (гравиметрический метод).

Поскольку расстояние от центра Земли до полюсов меньше, чем до экватора, то вес того или иного тела на полюсе будет больше, чем на экваторе. Этим отчасти обусловливается зависимость веса тел от геогр. широты местности. Но основной причиной, обусловливающей зависимость веса тел от широты местности, является суточное вращение Земли вокруг своей оси.

На тело, лежащее на поверхности Земли и вращающееся вместе с ней, будет действовать центростремительная сила F = m²Rcos, которая зависит от широты  и которая изменяет вес тела.  и R угловая скорость вращения и радиус Земли. Вес тела на широте  равен

При перемещении тела от полюса к экватору вес его будет монотонно уменьшаться по величине от значения mg на полюсе до значения mg(1 - ²R/g) на экваторе. Однако и это изменение веса тела с изменением широты местности невелико, т.к. величина ²R/g равна лишь 1/289.

Направление силы веса тела Р, отклоняется от направления на центр Земли на угол , величина которого зависит от широты местности . Сила Р будет направлена к центру Земли только на полюсе и на экваторе. Максимальное отклонение направления веса тела от направления на центр Земли будет на широте  = 45⁰.

Итак, сила тяготения mg = fmM/R² (отсюда g = fM/R²), действующая на тело массы m со стороны Земли и зависящая по величине только от расстояния тела до центра Земли, всегда направлена к центру Земли, не равна весу этого тела, даже если оно покоится относительно Земли.

Движение тела, происходящее под действием только его силы тяжести, наз. свободным падением. Ускорение свободного падения (ускорение силы тяжести) g = P/m. Оно одинаково для всех тел и зависит только от географической широты и высоты над уровнем моря. Стандартное (нормальное) значение g, принятое для расчетов, равно 9,80665 м/с².

Гравитационное поле Земли. Между любыми двумя телами в природе всегда существует силовое взаимодействие, в результате которого происходит их взаимное притяжение. Физическое поле этого взаимодействия носит название поля тяготения, или так наз. гравитационного поля. В 1687 г И. Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения, согласно которому две материальные точки притягиваются др. к др. с силой F = fm₁m₂/r²₁₂. (1)

На точечную массу, жестко связанную с Землей, одновременно действуют три силы, геометрическая сумма которых, или их равнодействующая, носит название силы тяжести (g): Q = F + I + F,

где F – сила притяжения между материальной точкой и всеми массами Земли, I –центробежная сила, возникающая вследствие суточного вращения Земли вокруг своей оси, F- сила притяжения небесных тел.

Силу F определяют по зависимости (1). Ее числовое значение и направление непрерывно изменяются (из-за смены взаимного положения Земли и небесных тел), и это ведет к приливным изменениям G. Для исключения F в результаты измерений обычно вводят специальную поправку.

СилаF определяется распределением масс в теле Земли и ее формой. Если в первом приближении принять Землю за шар, состоящий из концентрических слоев постоянной плотности, то сила F будет направлена к центру Земли и подчиняется закону

F = fМm_i/r², (2) где М и m_i – соответственно масса Земли и i-той точки, r – так наз. геоцентрическое расстояние, r = x² + y² + z² (x, y,z – геоцентрические координаты). Для реальной Земли значение силы F отличается от вычисленного по формуле (2).

Центробежная сила I направлена по радиусу малого круга, по которому происходит вращение Земли. Она равна I = m_i²d = m_i²r cos , (3)

где  = 2/Т = 2/86164,098904 = 7,292115146710^-5 рад/с - угловая скорость вращения Земли, d – расстояние от оси вращения до i-той материальной точки,  - широта, r – радиус Земли

Максимума сила I достигает на экваторе, где она противоположна силе тяготения F. Центробежная сила стремится уменьшить силу притяжения. Центробежные силы вызывают экваториальное вздутие Земли. Если m_i =1, то сила тяжести будет численно равна ускорению свободного падения g. По современным данным оно равно 9,78032 м/с² на экваторе и 9,83221 м/с² на полюсах. Сила притяжения небесных тел F невелика, однако при высокоточных гравиметрических исследованиях она учитывается.

На полюсе d = 0 и I_p = 0. Отношение I/F = ²d/(fM/d²) = 1/288, (4)

т.е. вклад центробежной силы (ускорения) составляет всего менее 0,5%.

Выражение для ускорения силы тяжести для сфероидальной Земли выведено в 1743 г. французским ученым А.К.Клеро: g = g_э(1 + sin ²), (5)

где g_э - ускорение силы тяжести на экваторе,  = (,=1/298,25-полярное сжатие) - коэффициент. Для реальной Земли выражение для g имеет более сложный вид. В 1971 г была принята новая формула:

g = 978,0318 (1 + 0,0053024 sin² - 0,0000059 sin² 2), (6)

в которой были использованы данные спутниковых измерений.