logo
Lektsii_4_semestr

1.10. Статистика Ферми - Дирака.

Процессы в твердых телах ( электропроводность, теплопроводность, и т.д.) связаны с движением коллективов (ансамблей) тождественных частиц, в частности, электронов. Свойства таких ансамблей описываются законами квантовой статистики. Центральным понятием любой статистики (квантовой или классической) является функция распределения р(Е), определяющая вероятность того, что состояние с энергией Е в условиях теплового равновесия занято частицей. На частицы с полуцелым спином ( т.е. s = 1/2) (их называют ферми-частицами, фермионами, ферми-газом; к ним принадлежат, конечно, электроны) действует принцип запрета Паули, и ансамбли таких частиц описываются статистикой Ферми-Дирака. Функция распределения в статистике Ферми-Дирака имеет вид

. ( 1.21 )

Отметим основные свойства распределения Ферми-Дирака:

1) Вид распределения не зависит от свойства конкретной системы частиц. Применительно к твердым телам можно сказать, что вне зависимости от структуры и состава тела, вида энергетических зон, функция р(Е) неизменна.

2) Различия в свойствах тел проявляются в различиях энергии ЕF, которую называют энергией Ферми. Если для данного твердого тела известна энергия ЕF , то известно, как расположена функция р(Е) на схеме энергетических уровней.

3) Как видно из формулы (1.21), при Е = ЕF вероятность р(ЕF) = 0,5 при любой температуре Т  0. Если в кристалле имеется уровень энергии электрона, совпадающий с уровнем Ферми, то вероятность его заполнения электроном при Т  0 равна 0,5. Заметим, что уровень Ферми в твердых телах может находиться как в разрешенных, так и в запрещенных зонах энергетического спектра.

4) При температуре Т = 0 вероятность р(Е) = 1, если Е  ЕF и р(Е) = 0, если Е  ЕF . Следовательно, уровень Ферми - это наибольшая энергия, которой может обладать электрон при Т = 0, если этот уровень расположен в разрешенной зоне. Функции р(Е) для Т = 0 и Т  0 показаны на рис.1.12.

5) Для энергии Е  ЕF  kT величина (E  EF)/kT  1, поэтому формула преобразовывается к виду

. ( 1.22)

В этом приближении распределение Ферми-Дирака переходит в распределение Больцмана.

6) Основной параметр распределения Ферми - Дирака - энергию ЕF находят из условия, что полное число электронов, заполняющих уровни энергетических зон, равняется числу электронов в кристалле.