10.Закон сохранения и изменения количества движения.

Второй закон Ньютона позволяет найти ускорение движущейся точки в каждый данный момент времени, т.е.

F = m d²r/dt^2,, откуда r =  F dt/m = r(t),

V = F dt/m = V(t).

На практике чаще всего бывает необходимо найти изменение движения тела за какой-либо определенный промежуток времени. Для решения этой задачи следовало бы применить 2-ой закон Ньютона много раз во все промежуточные моменты времени, что сложно. Поэтому целесообразно предварительно преобразовать основные законы динамики и вывести из них ряд следствий, позволяющих находить конечные скорости тел сразу, без вычисления ускорений и скоростей во всех промежуточных точках. Первым таким практически важным следствием из основных законов динамики (Ньютона) является так называемый закон количества движения (импульса).

Запишем 2-ой закон Ньютона F = mW в виде

F = m lim V/ t (1)

t

Рассмотрим конечный, но малый промежуток времени t, в течение которого действующая на материальную точку сила F не успевает заметно измениться ни по величине, ни по направлению. Заменяя в (1) величины F иW их средними значениями за промежуток времени t, получим

F_ср = m V/t. (2)

Для постоянной силы (F = const и W=F/m = const) среднее значение F_ср и W_ср= V/t в точности равны их мгновенным значениям F и W в каждом промежутке t. В случае переменной силы это равенство будет выполняться тем точнее, чем меньше интервал t.

Обозначим скорость мат. точки в начале промежутка t через V₁, а в конце его – через V₂. Тогда V =V₂ -V₁ и из (2) имеем

Рис.1.

F_ср t =m(V₂ - V₁) = mV₂ -mV₁. (3)

Вектор F_срt называется элементарным импульсом силы.

Вектор mV называется вектором количества движения точки. Разность mV₂ - mV₁ представляет собой приращение вектора количества движения за время t. Обозначим это приращение через (mV), получим математическую формулировку закона изменения количества движения:

F_ср t = (mV). (4)

Элементарный импульс силы, действовавший на материальную точку в течение промежутка времени t , равен изменению ее количества движения за тот же промежуток времени.

В случае переменной силы, действующей в течение достаточно большого промежутка времени, последний следует разбить на достаточно малые элементарные интервалы t_k так, чтобы на каждом интервале можно было заменить силу ее средним значением в этом интервале F_k.

Пронумеровав все последовательные положения движущейся точки на ее траектории как на рис., применим (4) последовательно к каждому интервалу. Для 1-го интервала t₁ = t₁ – t₀ получим:

F₁t₁ =mV₁ -mV₀,

Аналогично далее:

F₂ t₂ = mV₂ - mV₁

F_k t_k = mV_k - mV_k-1

F_n t_n = mV_n – mV_n-1 .

Сложим все эти равенства. Тогда промежуточные значения вектора количества движения попарно сократятся, и мы получим :

F₁ t₁ +F₂ t₂ + ….+F_k t_k + ….+ F_n t_n =mV_n - mV₀ (5)

F_k t_k – наз. полным импульсом переменной силы за время t_n – t₀ .

F_k t_k = mV_n - mV₀ , (6)

т.е.полный импульс переменной силы равен полному изменению количества движения за все время действия силы.

Закон изменения количества движения (6) позволяет по начальной скорости V₀ и известному полному импульсу силы находить сразу конечную скоростьV_n без вычисления всех промежуточных скоростей.

Вычисление полного импульса F_k t_k в общем случае произвольных сил также представляет собой довольно сложную задачу, решаемую методами интегрального исчисления.

Закон изменения количества движения является непосредственным следствием 2-го закю Ньютона. Используя наряду с ним и 3-ий закон Ньютона, получим так называемый закон сохранения количества движения.

Для этого рассмотрим две взаимодействующие материальные точки массами m₁ и m₂ . Обозначим скорости движения этих точек в данный момент времени соотв. V₁ и V₂ (рис. 2.)



Рис.2.

Если первая из этих точек действует на вторую с F₁₂ , то 2-я по 3-му закону Ньютона, действует на 1-ю с силой F₂₁ = -F₁₂ . Под действием этих сил за промежуток времени t скорости точек получают приращения V₁ и V₂ и их количества движения изменяются соответственно на величину (m₁V₁) и (m₂V₂). Применяя закон изменения количества движения (4) к движению каждой точки в отдельности, можно написать:

F₂₁t = (m₁ V1), F₁₂t = (m₂ V₂) (7)

Складывая эти два равенства и учитывая, что F₁₂ = -F₂₁, получаем:

0 = (m₁ V1) + (m₂ V₂) =(m₁ V₁ + m₂ V₂) . (8)

Рассматриваемые две материальные точки, взаимодействующие только друг с другом, образуют систему, изолированную от действия всех остальных тел.

Геометрическая сумма количества движения обеих точек m₁V₁ +m₂V₂ наз. количеством движения системы. Из (7) и (8) следует, что за время движения количество движения каждой точки в отдельности может изменяться, но количество движения системы остается постоянным:

m₁V₁ + m₂V₂ = const (9)

Аналогичным способом может быть выведен закон сохранения количества движения для системы, состоящей из любого числа материальных точек или тел, взаимодействующих только между собой.

В изолированной системе материальных тел количество движения всей системы в целом остается неизменным:

m_iV_i = const.

При механическом движении увеличение количества движения одного тела равно уменьшению количества движения всех остальных взаимодействующих с ним тел. Взаимодействующие тела обмениваются количеством движения; количество движения переносится от одного тела к другому. Скорость передачи количества движения определяет величину силы взаимодействия. Для каждого из тел в соответствии с (4) можно записать

(mV)/ t =F.

Привести примеры: человек прыгает с лодки и т.д.