31. Градиент потенциала. Связь между потенциалом и напряженностьяю электроста­тического поля в каждой точке поля.

Рассмотрим в однородном электрическом поле две точки 1 и 2 (рис.13) и предполо­жим, что заряд (+1) переходит из 1 в 2 вдоль прямолинейного отрезка Dl. Работу электрических сил DА при перемещении можно выразить, во-первых, через напряжённость поля: DА = Е_l Dl.

С другой стороны - через разность потенциалов DU₁₂. DА=DU₁₂

Рис. 13.

Введем теперь приращение потенциала при перемещении `Dl, т.е. раз­ность потенциалов DU₂₁ точки 2 (конец пути) и точки 1 (начало пути), и будем обозначать его просто DU. Тогда

DU =DU₂₁ = -DU₁₂

Приравнивая оба выражения для работы, получим дня напряжённости электрического поля выражение:

Е_l = -DU/Dl.

В общем случае неоднородного поля обе точки 1 и 2 нужно выбирать до­статочно близко друг от друга, строго говоря, бесконечно близко, чтобы можно было считать E на Dl постоянной. В пределе при Dl®0,

Е_l = -dU/dl. т.е.

проекция вектора напряжённости электрического поля на данное направление равна быстроте изменения потенциала в этом направлении, взятой с обратным знаком.

Или используя понятие градиента скалярной величины grad U:

`= - grad U,

т.е. напряженность в какой-либо точке электростатического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком.

В общем случае потенциал U - функция всех трёх декартовых координат рассматриваемой точки поля, причём grad U = (U/X)+ (U/Y)+ (U/Z).

Поэтому проекции векторана оси координат связаны с потенциаломполя т.o

E_x = - U/X;

E_Y = - U/Y;

E_Z = - U/Z;

Если заряд перемещается в направлении dl, перпендикулярном силовой линии, т.е. перпендикулярно `, то соs (Е,dl) = 0, Е_l = 0 и dU/dl = 0 или U=const.

Следовательно, во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал одинаков.