Вопрос 17. Уравнение Бернулли и его применение для определения статического и динамического давления.

Пусть по наклонной трубе (или трубке тока) переменного сечения движется жидкость слева направо. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями S₁ и S₂ , в которых скорости течения V₁ и  V₂ , рис. 1 из предыдущего параграфа.

Определим изменение полной энергии, происходящее в этой области за малый промежуток времени t. За это время масса жидкости, заключенная между сечениями S₁ и S₁ втекает в рассматриваемую область, а масса, заключенная между S₂ и S₂ вытекает из нее. Иных изменений в данной области не происходит. Поэтому изменение полной энергии Е равно разности полных энергий вытекающей и втекающей масс:

Е = ( Е_к + Е_п)₂ – ( Е_к + Е_п) ₁ или (1)

Е = mV₂²/2 + mgh₂ - mV₁² - mgh₁ (2)

В соответствии с законом сохранения энергии найденное изменение энергии равно работе А внешних сил (давления) по перемещению массы m: Е = А. (3)

Определим эту работу. Внешняя сила давления F₁ совершает работу А₁ по перемещению втекающей массы на пути V₁t, в то же время вытекающая масса на пути V₂t совершает А₂ против внешней силы F₂. Поэтому А₁ = F₁V₁t; A₂ = - F₂V₂t («-» т.к. сила направлена против перемещения), а искомая работа А = А₁ + А₂ = F₁V₁t - F₂V₂t.

Учитывая, что F₁ = p₁S₁ и F₂ = p₂S₂ , получим А = p₁S₁ V₁t - p₂S₂ V₂t, но S₁ V₁t =S₂ V₂t = V, т.к. жидкость не сжимается.

Поэтому А = р₁V – p₂V (4)

Объединяя (2) и (4), получим mV₂²/2 + mgh₂ + p₂V = mV₁²/2 + mgh₁ + p₁V |:V V₂²/2 + gh₂ + p₂ = V₁²/2 + gh₁ + p₁ . (m/V =)

Поскольку сечения S₁ и S₂ выбраны произвольно, можно окончательно написать V²/2 + gh + p = const - уравнение Бернулли (1700 – 1782г., петербургский академик). (5)

V²/2 –удельная кинетическая энергия жидкости

gh – удельная потенциальная энергия жидкости

р - удельная энергия жидкости, обусл. силами давления

При установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления и кинетической и потенциальной удельных энергий остается постоянной на любом поперечном сечении потока. Единицей давления 1 Па = 1Н/м² = 1 Н м/м³ = Дж/м³.

Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии (удельной). Все члены (5) можно рассматривать как давления, причем р называется статическим, V²/2 –динамическим, gh –гидравлическим давлением (напором).

Следовательно,в установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости полное давление (напор) , слагающееся из динамичес-кого, гидравлического и статического давлений , постоянно на любом поперечном сечении потока (уравнение Бернулли). Для горизонтальной трубки тока (h₁ = h₂) уравнение Бернулли примет вид V²/2 + p =const.

Из уравнений Бернулли и неразрывности следует, что в местах сужения трубопровода скорость течения жидкости возрастает, а статическое давление понижается. Уравнения (1) – (5) применимы и для газа, поскольку, как показывает теория и опыт, при скоростях движения газа, меньших скорости распространения звука в нем, сжимаемостью газа можно пренебречь.

Уравнение Бернулли является одним из основных законов механики движения жидкости и газов, имеющих большое прикладное значение. Примеры: 1) гидротурбина (потенциальная энергия давления воды в узком сопле переходит в кинетическую энергию, за счет которой рабочее колесо приводится во вращение) 2) гидротаран, 3)аэрация почвы, 4)карбюратор двигателей, 5) пульверизатор, 6)сталкивание двух параходов, близко идущих одним курсом.

Давление в движущейся жидкости можно измерить с помощью неподвижной манометрической трубки (зонд), если ее соприкасающееся с текущей жидкостью отверстие площади S ориентировано параллельно направлению движения жидкости, рис. 1.

Действительно, элементарно тонкий слой жидкости в манометрической трубке, примыкающий к ее отверстию, находится в покое. Значит, сила давления F =pS, действующая со стороны текущей жидкости, уравновешивается силой, с которой столб жидкости в трубке высотой h действует на него в противоположном направлении (вниз) и которая равна весу столба жидкости F =  ghS (внутри трубки, у ее закрытого конца, над поверхностью жидкости вакуум). Т.о., Р = gh, т.е. давление р в той точке потока жидкости, на уровне которой находится отверстие в манометрической трубке, равно весу столба жидкости, находящейся в трубке, площадь сечения которого равна единице.

Давление в движущейся жидкости в соответствии с законом Бернулли связано со скоростью ее частиц. В более широких участках трубки, где скорость жидкости мала, давление жидкости будет по величине большим, чем в более узких участках той же трубки тока, где скорость жидкости больше (трубка Вентура).

Совсем другое давление будет измерять в движущейся жидкости неподвижная манометрическая трубка, изогнутая под прямым углом, так что ее отверстие, находящееся в жидкости, ориентировано навстречу потоку и его площадь перпендикулярна к линиям тока (трубка Пито), рис. 2.

Пусть вдали от манометрической трубки давление и скорость жидкости равны р и V . В сечении же, совпадающем с отверстием манометрической трубки, скорость жидкости V = 0, т.к. жидкость, достигшая отверстия, здесь затормаживается. Обозначим давление в сечении отверстия р, то в соответствии с законом Бернулли для двух данных сечений трубки тока получим: Р + V²/2 = p, т.к. (h и h равны). (6)

Возрастание давления у отверстия изогнутой трубки обусловливается сжатием затормаживаемой здесь жидкости. Из (6) можно определить V жидкости V = 2(р - р)/ (7)