6. Расчёт переходного процесса при заданном воздействии методом переменных состояния

Анализ переходных процессов в сложной линейной цепи любой конфигурации может быть выполнен на основе системы уравнений относительно переменных состояния, записанных в нормальной форме Коши. Система строится на основе структурных и компонентных уравнений. Переменными состояния называют токи через индуктивности и напряжения на ёмкостях. Определение всех переменных состояния сводится к математической задаче интегрирования уравнений. Система уравнений независима, и позволяет единственным образом выразить все остальные токи и напряжения. Такой метод расчёта переходных процессов называется методом переменных состояния. Продемонстрируем реализацию метода на примере включения той же цепи (рис.1) под действие синусоидального напряжения .

Напомним, что параметры цепи имеют следующие значения: Пусть в момент времени ключк (рис.6) замыкается. При выполнении курсовой работы частоту входного напряжения следует выбрать вблизи точек max или min на АЧХ (раздел 2), но не в самих точках, чтобы избежать очень больших (малых) значений токов и напряжений. (Частота может быть выбрана по рекомендации преподавателя). В данном примере примем частоту воздействия равной Гц. (1/с).

Рис.6

Для цепей сложной конфигурации при формировании системы структурных уравнений рекомендуется использовать топологические свойства цепи. Так уравнения по первому закону Кирхгофа рекомендуется записывать для главных сечений, а по второму для главных контуров нормального дерева. Напомним, что в нормальное дерево включает все ёмкости и источники напряжения и не включает индуктивности и источники тока. Главные сечения содержат только одну ветвь дерева. Главные контура содержат только одну ветвь связей, а все остальные ветви принадлежат дереву. Данная рекомендация не является обязательной, но исключает трудности выражения одних переменных через другие при дальнейшем формировании системы. При выборе нормального дерева целесообразно считать все элементы цепи отдельными ветвями. В связи с этим появляются формальные (не физические) узлы. Ниже на рисунке 7 изображён граф цепи. Нормальное дерево обозначено жирным пунктиром, главные сечения точечным, а контура обычным пунктирами. Вторая ветвь формально

Рис.7

представлена двумя ветвями 2а и 2б. Соответственно узел формальный. Формальным является и узел 2, т.е. первая и шестая ветви тоже рассматриваются как отдельные. Такая нумерация дает возможность задать нормальное дерево. В итоге получаем 7 ветвей и, следовательно, для формирования системы потребуется 7 структурных уравнений.

Для сечения ; для сечения. Подчеркнём ещё раз, эти формальные уравнение есть результат задания нормального дерева, т.к. равенстваиочевидны. Для остальных сечений:, или просто;().

Для контуров: ;; и.

Компонентные уравнения: ;;;

; ;;.

На данном этапе следует убедиться, что число неизвестных равно числу уравнений. Действительно для четырнадцати токов и напряжений получено столько же уравнений. В них всего четыре переменных состояния: и. Приведём систему к нормальной форме Коши.

При формировании второго уравнения использовалось структурное уравнение (К3). В системе два переменных и не являются переменными состояния. Их следует выразить через переменные состояния. Это делается при помощи остальных, неиспользованных уравнений. Из (S3) ; из (S4) ; из (К1)и из (К2). В этих четырёх уравнениях четыре переменных:не являются переменными состояния. Их необходимо исключить из окончательной системы, в которой должны остаться только переменные состояния.

,

откуда .

Подставив в выражение для получим

.

Тогда

и

.

Окончательная запись системы для переменных состояния:

Напряжение на нагрузке .

Программная реализация системы переменных состояния показана в приложении 6. Для сравнения можно посмотреть график переходного процесса, полученный на математической модели Electronics Workbench Professional (EWB) в приложении 2. Сравнение показывает идентичность результатов.

Если на входе цепи (рис.5) напряжение имеет характер, отличный от синусоидального, это никак не влияет на приведённую выше систему уравнений. В приложении 7 приведён расчёт переходного процесса, когда на входе цепи напряжение имеет сложный гармонический состав. Для примера взято напряжение . В разделе 4 был рассмотрен расчёт установившегося режима при действии такого напряжения на входе той же цепи. Сравнивая напряжение на выходе цепи, когда переходный процесс практически завершён, с графиком установившегося режима (рис.3 ) можно убедиться, что они совпадают.