Движение по криволинейной траектории

Рассмотрим движение тела по произвольной криволинейной траектории. Выше мы уже отмечали, что при движении тела по криволинейной траектории вектор его скорости в любой точке направлен по касательной к траектории. На рисунке показано, почему это так. Средняя скорость равна . Это значит, что направление вектора средней скорости всегда совпадает с направлением перемещения Δr. Но если мы будем приближать конечную точку к начальной, делая промежуток времени Δt все меньше, то, как видно из рисунка, направление вектора Δr будет приближаться к направлению касательной к траектории в начальной точке и в пределе сольется с ней. Но в этом пределе средняя скорость перейдет в мгновенную скорость.

В отличие от скорости, ускорение при движении тела по криволинейной траектории почти никогда не бывает направлено по касательной к траектории. Так как , то направление вектора ускорения всегда совпадает с направлением вектора изменения скорости. Как видно из рисунка, вектор изменения скорости, а, значит, и ускорение направлены внутрь кривизны траектории. В общем случае угол между векторами скорости и ускорения может изменяться от 0 до 180°.

Очень часто ускорение тела при движении по криволинейной траектории раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие: на направление касательной к траектории и на направление перпендикулярное касательной. Составляющая вектора полного ускорения на направление касательной к траектории называется тангенциальным или касательным ускорением (а_τ). Составляющая вектора полного ускорения на направление перпендикулярное касательной называется центростремительным или нормальным ускорением (а_ц).

Если α – угол между направлениями ускорения и скорости, то можно написать:

Кроме того:

Разделение ускорения на две составляющие связано с тем, что каждая составляющая полного ускорения характеризует изменение скорости по одному из двух параметров. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Тангенциальное ускорение совпадает по направлению с вектором скорости, если скорость по величине возрастает и направлено противоположно скорости, если она убывает. При движении с постоянной по величине скоростью тангенциальное ускорение равно нулю. Модуль тангенциального ускорения равен:

Центростремительное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. При движении по прямолинейной траектории центростремительное ускорение равно нулю.

Важным частным случаем движения по криволинейной траектории является движение по окружности. Дело в том, что любую плавную кривую линию можно заменить совокупностью сопряженных дуг окружностей разного радиуса. Пусть имеется некоторая кривая линия. В каждой точке кривой можно провести множество окружностей, касающихся ее в этой точке. Но среди всех этих окружностей имеется одна, которая лучше других описывает кривизну кривой в данной точке. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны линии в этой точке. Таким образом, движение тела по произвольной криволинейной траектории можно представить как последовательное движение по окружностям разного радиуса.

Пусть тело движется по криволинейной траектории. Рассмотрим две очень близкие точки траектории А и В. Так как точки очень близки друг к другу, то можно считать, что они лежат на дуге окружности с радиусом равным радиусу кривизны траектории в данной части траектории - R. Предположим, что скорость тела по величине постоянна. В этом случае тангенциальное ускорение равно нулю и полное ускорение тела равно центростремительному. Треугольник, построенный на векторах v_A, v_B и Δv равнобедренный и подобен треугольнику АОВ. Значит можно написать:

Пусть Δt – время, за которое тело перешло из точки А в точку В. Так как точки А и В расположены очень близко друг к другу (на рисунке для наглядности они расположены далеко друг от друга), то хорда АВ практически совпадает с дугой АВ. Поэтому можно написать: . А значит получаем:

Так как тангенциальное ускорение равно нулю, то представляет собой центростремительное ускорение. Таким образом получаем формулу для центростремительного ускорения при движении тела по криволинейной траектории:

Здесь v – мгновенная скорость тела, а R – радиус кривизны траектории в данной точке.