Вращательное движение твердого тела Момент импульса

В этой главе кратко рассмотрим основные вопросы, касающиеся вращательного движения твердого тела. Однако сначала рассмотрим движение материальной точки по окружности в несколько измененном виде. Пусть материальная точка массой m движется по окружности радиусом R. Пусть на точку действует сила F. Разложим силу на две составляющие: составляющую, направленную вдоль радиуса окружности и составляющую, направленную перпендикулярно радиусу, то есть по касательной к окружности. Первая составляющая силы обеспечивает центростремительное ускорение точки и ее можно назвать центростремительной силой F_ц. Вторая составляющая обеспечивает тангенциальное ускорения точки и ее можно назвать тангенциальной силой F_τ. Второй закон Ньютона для тангенциальной силы запишется так:

Где а_τ – тангенциальное ускорение. Но , где ε – угловое ускорение. Значит:

Умножим обе части последнего равенства на R и заметим, что – момент силы F относительно оси вращения точки. Таким образом, получаем:

Между поступательным и вращательным движениями можно провести аналогию. В частности, кинематическим характеристикам поступательного движения можно привести в соответствие характеристики вращательного движения. Так аналогом перемещения для поступательного движения служит угол поворота, аналогом скорости служит угловая скорость, а аналогом ускорения служит угловое ускорение. Можно пойти еще дальше и привести в соответствие динамические и энергетические характеристики поступательного и вращательного движений. Так хорошим аналогом силы при поступательном движении может служить момент силы для вращательного движения. Тогда аналогом массы при вращательном движении должна служить величина . Обозначим эту величину буквой J. Величина

называется моментом инерции. При этом второй закон Ньютона для движения материальной точки по окружности выглядит так:

Это уравнение по виду и по смыслу полностью соответствует второму закону Ньютона для поступательного движения материальной точки.

Теперь перейдем к вращательному движению твердого тела. Пусть имеется твердое тело, способное свободно вращаться вокруг некоторой оси. Разобьем тело (мысленно) на очень большое количество очень маленьких элементов, каждый из которых можно было бы считать материальной точкой. Пусть элемент массой m_i находится на расстоянии R_i от оси вращения. Тогда его момент инерции равен . Моментом инерции тела относительно оси вращения называется сумма моментов инерции всех составляющих его элементов:

В этом случае второй закон Ньютона для вращения твердого тела также записывается в виде (*), где М – алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно данной оси.

Определение моментов инерции тел сводится к объемному интегрированию и в общем случае является довольно сложной процедурой. Однако для многих тел простой формы моменты инерции известны. Приведем моменты инерции для некоторых тел относительно оси, проходящей через центр масс тела.

1) Момент инерции тонкого обруча массой m и радиусом R относительно оси перпендикулярной плоскости обруча равен .

2) Момент инерции однородного диска или однородного цилиндра относительно оси перпендикулярной плоскости диска или совпадающей с осью цилиндра равен .

3) Момент инерции однородного шара равен .

4) Момент инерции однородного стержня длиной l и массой m относительно оси перпендикулярной стержню равен .

Приведем без доказательства теорему Штейнера. Если J₀ – момент инерции некоторого тела массой m относительно оси, проходящей через центр масс тела, то его момент инерции относительно другой оси, параллельной первой и отстоящей от нее не расстоянии а, равен:

.