8. Расчёт переходного процесса при произвольном воздействии с помощью интеграла Дюамеля

Интеграл Дюамеля, одна из форм записи которого имеет вид

,

используется для определения реакции цепи на воздействие произвольной формы, при отсутствии запаса энергии в цепи в момент коммутации (если все и). Здесьесть производная воздействия по времени при,. Переходная характеристика цепи - описывает свойства пассивной цепи, и определяется через передаточную функцию .

Возьмем для примера ту же цепь (раздел 6, рис.6) при воздействии и при нулевых начальных условиях. Требуется вычислить интеграл

.

Для этого определим: и

.

Переходную характеристику вычислим, используя процедуру обратного преобразования Лапласа (invlaplace). При ручных вычислениях следует не забывать, что переменная интегрирования х, и следовательно составляющие подынтегрального выражения, содержащие время t выносятся за знак интеграла как постоянные. Полный расчёт приведён в приложении 10.

В рассмотренном примере воздействие функция непрерывная, (рис.9) и её производная не имеет разрывов. Сложней, если воздействие представляет собой функцию типа, показанной на рисунке 10, где производная имеет разрывы и принимает бесконечные значения. В этом случае воздействие следует представить наложением отдельных составляющих, каждая из которых во временных пределах задания будет непрерывной. В конкретном случае составляющих будет три. Первая составляющая, это прямая, гдеk тангенс угла наклона. В. Соответственно производная. Вторая прямая отличается от первой только знаком и сдвигом по временной оси нас.В.

Рис.9

Соответствующее значение (с минусом) будет у производной. Третья составляющая, - это отрицательный скачок напряжения, сдвинутый по времени на с.В. Производная равна нулю.

Рис.10

Из рисунка видно, что наложение трёх составляющих даёт исходное напряжение , причём у всех составляющих производные не имеют разрывов в пределах задания. В соответствии с принципом наложения, полную реакцию цепи можно вычислить наложением реакций от отдельных воздействий.