Столкновения тел

Рассмотрим столкновение двух тел. На практике встречается очень много видов столкновений Мы здесь рассмотрим только два вида: абсолютно упругие и абсолютно неупругие столкновения.

Абсолютно неупругое столкновение.

Под абсолютно неупругим столкновением обычно понимают случай, при котором сталкивающиеся тела слипаются и после столкновения начинают двигаться как единое целое. Абсолютно неупругое столкновение может встречаться реально. Например, столкновение пластилиновых тел часто является абсолютно неупругим. Рассмотрим случай когда сталкивающиеся тела движутся вдоль одной прямой. Причем, если они до столкновения двигались вдоль одной прямой, то после столкновения они будут двигаться вместе вдоль той же прямой. Это вытекает из закона сохранения импульса, согласно которому суммарный импульс системы тел должен сохраняться как по модулю, так и по направлению.

Пусть имеется два тела массами m₁ и m₂, движущиеся со скоростями v₁ и v₂, направленными вдоль одной прямой. Направим ось Х вдоль этой же прямой. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось Х:

Отсюда сразу находим проекцию скорости тел после столкновения на ось Х:

Кинетическая энергия системы до столкновения равна:

а конечная:

Легко заметить, что начальная и конечная энергии не равны. То есть закон сохранения механической энергии при неупругих столкновениях не выполняется. Причем начальная энергия системы больше конечной энергии на величину:

Куда девалась часть механической энергии. Дело в том, что при неупругих столкновениях происходит необратимая деформация тел и тела при этом нагреваются. То есть, при неупругих столкновениях часть механической энергии переходит во внутреннюю и выделяется количество теплоты Q = ΔW.

Абсолютно упругое столкновение.

Под абсолютно упругим понимают такое столкновение, при котором механическая энергия системы сохраняется. При этом после столкновения тела разлетаются. Мы рассмотрим абсолютно упругое центральное столкновение двух шаров. Центральным называется столкновение, при котором скорости шаров направлены вдоль прямой, соединяющей их центры. При этом после столкновения шары разлетятся, но их скорости будут направлены вдоль той же прямой. Направим ось Х вдоль этой прямой. Обозначим массы шаров m₁ и m₂, их скорости до столкновения v₁ и v₂, а после столкновения u₁ и u₂. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось Х:

В этом уравнении две неизвестные, то есть одного этого уравнения не хватает. Так как при абсолютно упругих столкновениях механическая энергия сохраняется, то можно написать еще и закон сохранения энергии:

Теперь имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными. Перепишем уравнения в следующем виде:

Разделив второе уравнение на первое, получаем:

Умножив обе части последнего уравнения на m₂ и сложив с первым из предыдущих двух, получаем скорость первого шара после столкновения:

Подставив ее в предыдущее уравнение, можно выразить скорость второго шара:

Рассмотрим два частных случая абсолютно упругого столкновения.

1. Пусть массы шаров одинаковы и второй шар до столкновения был неподвижен (v_2x = 0).

Из (*) сразу получаем, что u_1x = 0, а из (**):

То есть, если движущийся шар налетает на такой же неподвижный шар, то после абсолютно упругого центрального столкновения налетающий шар останавливается, а второй начинает двигаться с той же скоростью.

2. Пусть два одинаковых шара движутся навстречу друг другу со скоростями v₁ и v₂.

Из (*) и (**) получаем:

В этом случае шары после столкновения обмениваются скоростями.