Сложение параллельных сил. Центр тяжести

Рассмотрим простой случай. Пусть на стержень действуют параллельные силы F₁; F₂; …; F_n, направленные перпендикулярно стержню. Найдем их равнодействующую.

Найти равнодействующую означает, что надо найти силу, под действием которой тело двигалось бы так же, как оно движется под действием реально действующих сил. При этом надо найти как саму равнодействующую силу, так и точку ее приложения. Пусть равнодействующая равна F_p и приложена в точке О. Если сила F_p заменяет все исходные силы, то значит сила –F_p полностью их компенсирует. Это означает, что если мы в точке О к стержню приложим еще силу –F_p, то стержень будет находиться в равновесии.

Запишем первое условие равновесия:

Направим ось Х вдоль стержня. Пусть х₁; х₂; …; х_n – координаты точек приложения сил, а х₀ – координата точки О. Тогда второе условие равновесия относительно начала координат запишется так:

Отсюда:

В последнем уравнении обе суммы алгебраические. Сила F_p, приложенная в точке с координатой х₀, является равнодействующей исходных сил.

Рассмотрим теперь систему материальных точек. Пусть массы точек равны m₁; m₂; m₃; … На каждую точку действует сила тяжести m₁g; m₂g; m₃g; … Каждая из этих сил тяжести направлена к центру Земли. Если размеры системы малы по сравнению с радиусом Земли, то поле тяжести можно считать однородным, а силы тяжести, действующие на точки системы параллельными и направленными вертикально вниз. Найдем точку приложения равнодействующей всех этих сил тяжести. Проведем ось Х, направленную горизонтально. Пусть х₁; х₂; х₃; … - координаты точек системы. Тогда для координаты точки приложения равнодействующей имеем:

Полученная формула совпадает с формулой для координаты центра масс системы тел.

Точка приложения равнодействующей всех сил тяжести системы материальных точек называется центром тяжести. В однородном поле тяготения центр тяжести системы материальных точек совпадает с ее центром масс. Аналогичную формулу можно написать для координаты Y центра тяжести:

Центр тяжести и центр масс имеется и у любого твердого тела. Причем у тел простой формы можно сразу указать положение центра тяжести, пользуясь соображениям симметрии. Так если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести находится на ней. Если тело имеет две пересекающиеся оси симметрии, то центр тяжести находится в точке их пересечения. Центр тяжести всех однородных фигур, имеющих геометрический центр, находится в этом центре. Если тело сложной формы можно разбить на составные части более простой формы, у которых известно нахождение центра тяжести, то положение центра тяжести всего тела можно определить так: тело заменяется системой материальных точек, находящихся в центрах тяжести соответствующих частей и имеющих массы, равные массе соответствующей части. Затем общий центр тяжести определяется по формулам нахождения координат центра тяжести системы материальных точек.