Потенциальная энергия силы тяжести

Сила тяжести mg – потенциальная сила, так как она постоянна и по модулю и по направлению. Пусть тело массой m переместилось из начальной точки 1 в конечную точку 2. Рассмотрим работу, совершенную силой тяжести при этом перемещении. Так как эта работа не зависит от формы траектории перемещения, то можно выбрать ее произвольно, а именно, можно выбрать такую траекторию перемещения, работа на которой определяется наиболее просто. Пусть разность высот, на которых находятся положения 1 и 2 равна h. Переместим сначала наше тело вертикально вверх на высоту h, совершив перемещение S₁, а затем передвинем горизонтально до точки 2, совершив перемещение S₂. Совершенная при этом работа силы тяжести будет равна А = А₁ + А₂, где А₁ – работа на перемещении S₁, а А₂ – работа на перемещении S₂. Работа на первом перемещении равна , так как вектора силы тяжести и перемещения противоположны, а работа на втором перемещении просто равна нулю, так как вектора силы тяжести и перемещения взаимно перпендикулярны. Таким образом, общая работа равна .

2

Для сравнения переместим теперь тело из положения 1 в положение 2 непосредственно, совершив перемещение S₃. Совершенная при этом работа равна:

Видим, что совершенная силой тяжести работа оказалась такой же. Но работа потенциальной силы равна изменению потенциальной энергии тела с противоположным знаком. Значит, при перемещении тела из положения 1 в положение 2 его потенциальная энергия изменилась на величину . То есть, если мы за ноль потенциальной энергии примем положение 1, то потенциальная энергия тела в положении 2 будет равна . Окончательно можно сказать, что потенциальная энергия тела массой m в поле тяжести Земли равна:

где h – высота, на которой находится тела относительно произвольно выбранного начального уровня.

При перемещении тела из положения, находящегося на высоте h₁ в положение на высоте h₂ сила тяжести совершает работу . Однако при перемещении тела на него кроме силы тяжести должна действовать еще какая-то внешняя сила. Причем, если тело перемещается без ускорения, то эта внешняя сила должна быть равна по модулю силе тяжести и противоположно ей направлена. При этом внешняя сила тоже совершает работу и эта работа по модулю будет равна работе силы тяжести, но противоположна ей по знаку. В любом случае, если на тело действуют только внешняя сила и потенциальная сила, и перемещение тела совершается без ускорения, то работы внешней силы и потенциальной силы равны по модулю и противоположны по знаку:

То есть можно сказать, что работа внешней силы равна просто изменению потенциальной энергии тела.

Потенциальную энергию тела в поле тяжести Земли можно определять по формуле только, если размеры тела малы, то есть, если можно считать, что все точки тела находятся на одной и той же высоте. А что делать, если размеры тела не малы? Рассмотрим произвольное протяженное тело массой m. Выберем начальный уровень, относительно которого мы будем определять высоту. Мысленно проведем очень близкие горизонтальные плоскости, как бы разбив тело на очень тонкие горизонтальные слои. Массы слоев обозначим снизу вверх Δm₁, Δm₂, Δm₃, …, а высоту слоев относительно нулевого уровня обозначим h₁, h₂, h₃, … (толщину каждого слоя будем считать малой по сравнению с высотой). Потенциальная энергия всего тела будет складываться из потенциальных энергий всех слоев, на которые его разбили:

Предположим, что есть некоторая точка тела, находящаяся на высоте h_x такая, что потенциальную энергию тела можно записать как:

Тогда для высоты h_x получаем:

Мы получили формулу, совпадающую с формулой для координаты центра масс. Более точно для потенциальной энергии эта точка называется центром тяжести тела. Более строго понятие центра тяжести будет дано дальше, но для большинства практических случаев точки центра тяжести и центра масс совпадают.

Таким образом, потенциальную энергию протяженного тела в поле тяжести Земли можно определять по формуле:

где h_цт – высота, на которой находится центр тяжести тела.