Типы математических моделей

Выделяют два типа математических моделей: модели опи­сания и модели объяснения. В истории науки примером модели первого вида мо­жет служить схема эксцентрических кругов и эпицик­лов Птолемея. Математический формализм ньютонов­ской теории тяготения является соответствующим при­мером модели второго вида.

В одной из основных статей В. Гейзенберг обра­щает внимание на то, что в истории естествознания встречаются два типа теорий. К первому типу относятся так называемые «феноменологические» теории. Для них характерна такая формулировка закономерностей в области наблюдаемых физических явлений, в кото­рой не делается попытка свести описываемые связи к лежащим в их основе общим законам природы, через которые они могли бы быть понятыми. (Например, в химии — правила валентности, в оптике — формулы дисперсионной теории Друде). Ко второму типу отно­сятся теории, которые обеспечивают «истинное позна­ние явлений» (например, ньютонова физика, кванто­вая механика и др.). Гносеологическая особенность феноменологичес­ких теорий состоит в том, «что хотя они делают воз­можным описание наблюдаемых явлений, и, в частно­сти, нередко позволяют очень точно предвычислить новые эксперименты или последующие наблюдения, все же они не дают истинного познания явлений». Феноменологические теории это и есть модели описания. Модели же объяснения — это то, что Гейзенберг называет теориями, дающими истинное позна­ние явлений. В отличие от позитивизма и прагматизма Гейзенберг подчеркивает принципиальное гносеологи­ческое различие этих двух типов теорий.

1. Модель описания не предполагает каких бы то ни было содержательных утверждений о сущности изуча­емого круга явлений. Известно, что птолемеевская модель обеспечивала в течение почти двух тысяч лет возможность поразительно точного вычисления буду­щих наблюдений астрономических объектов. Ошибоч­ность птолемеевской системы заключалась вовсе не в самой математической модели, а в том, что с использу­емой моделью связывались физические гипотезы, и к тому же такие, которые лишены научного содержания (в частности, тезис о «совершенном» характере дви­жения небесных тел). Для моделей описания характерно то, что здесь соответствие между формальной и физической струк­турой не обусловлено какой-либо закономерностью и носит характер единичного факта. Отсюда глубина восполнения модели описания для каждого объекта или системы различна и не может быть предсказана тео­ретически. Задача определения глубины восполнения решается поэтому всегда эмпирически. Применимо ли понятие истины и лжи для моделей описания? В строгом смысле, по-видимому, нет. К ним применим скорее критерий полезности, чем истинно­сти. Модели описания бывают «хорошими» и «плохи­ми». «Плохая» модель — это либо слишком элементар­ная модель (в этом случае она тривиальна), либо слиш­ком сложная (и тогда она малоэффективна ввиду своей громоздкости). «Хорошая» модель — это модель, сочетающая в себе достаточную простоту и достаточную эффективность.

2. Модели объяснения представляют собой каче­ственно иной вид познавательных моделей. Речь идет о тех случаях, когда структура объекта (или система) находит себе соответствие в математическом образе в силу внутренней необходимости. Здесь модель есть уже нечто большее, чем простая эмпирическая под­гонка, ибо она обладает способностью объяснения. Если математический формализм адекватно выража­ет физическое содержание теории и выступает моде­лью объяснения, то он становится не только орудием вычисления и решения задач в уже известной облас­ти опыта, но и средством генерирования новых физи­ческих представлений, средством обобщения и пред­сказания. Например, из уравнений Ньютона можно вывести закон сохранения импульса, из уравнений Максвелла — идею о физическом родстве электромаг­нитных и оптических явлений, из уравнений Дира­ка — существование позитрона и т. д.

Рассмотрим характерные гносеологические свой­ства моделей объяснения.

1. Способность к кумулятивному обобщению. Хотя любая модель в своем становлении в качестве объяс­няющей теории имеет вначале весьма ограничен­ную эмпирическую базу, ее гносеологическая цен­ность обнаруживается в том, что она способна к экстенсивному расширению, к экстраполяции на новые области фактов. Механизм обобщения при этом не предполагает изменения исходной семан­тики теории или порождения новой семантики.

2. Способность к предсказанию. В отличие от моде­лей описания (которые способны лишь к количественному предсказанию), объясняющие модели способны к предсказанию принципиально новых качественных эффектов, сторон, элементов. Благо­даря тому, что модель представляет собой целост­ную концептуальную систему, она заключает в себе всю полноту своих элементов, сторон, отно­шений. Поскольку, с другой стороны, наш опыт всегда неполон, незакончен, то модель оказывает­ся «богаче», чем имеющийся в нашем распоряже­нии эмпирический материал. Иначе говоря, кон­цептуальная система в своей внутренней структуре может содержать такие элементы, стороны, связи, которые еще не обнаружил опыт. Модель, таким образом, позволяет предвосхитить новые факты. Известно, например, что в конце прошлого века Г.С. Федоров на основе исследования полной сим­метрии кристаллов предсказал существование новых кристаллических форм. Более того, кристал­лическая модель оказалась орудием установления множества всех возможных в природе кристаллов. Поскольку было установлено, что множество всех мыслимых кристаллов должно подчиняться опре­деленным математическим соотношением, то кри­сталлография оказалась способной к точному про­гнозированию того, какого рода кристаллы могут быть созданы в том или ином случае. Эшби под­черкивает: «Когда мы определяем кристалл как нечто, обладающее определенными свойствами симметрии, то, по сути дела, утверждаем, что кри­сталл должен иметь некоторые другие свойства симметрии, что последнее необходимо вытекает из первых, иначе говоря, что они суть те же свойства, но рассматриваемые с другой точки зрения. Таким образом, математическая кристаллография образует своего рода основу или структуру, более емкую и богатую, чем эмпирический материал...».

3. Способность к адаптации. Это свойство модели проявляется в том, что Пуанкаре назвал «гибкостью» теории. Истинная теория должна заключать в себе возможность видоизменяться и совершенствовать­ся под влиянием новых экспериментальных фактов. Если форма модели настолько жестка, что не поддается никаким модификациям, то это есть при­знак ее малой жизнеспособности. Модели описа­ния, как правило, являются жесткими. Напротив, модель, претендующая на объяснение, путем от­дельных видоизменений может сохранять свою силу, несмотря на возражения и контрпримеры. «Возражения, — констатирует Пуанкаре, — скорее идут на пользу теории, чем во вред ей, потому что позволяют раскрыть всю внутреннюю истину, за­ложенную в теории».

4. Способность к трансформационному обобщению. Модель объяснения, как правило может быть под­вергнута обобщению с изменением исходной се­мантики обобщаемой теории. Формализм более общей теории может иметь законченное выраже­ние независимо от менее общей, но он должен содержать формализм старой теории в качестве предельного случая. Так, в волновой оптике элек­тромагнитные волны описываются векторами электрического и магнитного полей, удовлетворя­ющими определенной системе линейных диф­ференциальных уравнений (уравнений Максвел­ла). Предельный переход от волновой оптики к геометрической соответствует тем случаям, когда мы имеем малую длину волн, что математически выражается большой величиной изменения фазы на малых расстояниях.