Бытовые задачи

4. Ссуда в размере 30000$ должна быть возвращена в течении 10 лет равными ежемесячными взносами размером p$. Выплачиваемый процент 15% в год от невозвращенной суммы.

Найти p и общее количество денег, которой потребуется выплатить. Составить разностное уравнение и решит его непосредственно (не применяя Z-преобразование).

5. В рекламе банка сказано: «Вносите по 100$ каждый месяц на протяжении 12 лет, и после этого мы будем вечно выплачивать вам по 100$ ежемесячно».

Рассмотрите банк как ЛДСПП, в которой вход, x[n], ежемесячные взносы (положительный знак) или снятия денег со счета (отрицательный знак). Выход системы, y[n], основная сумма, имеющаяся на счете после выполнения n-го ежемесячного внесения/снятия денег. Допустим, что первые 12 лет деньги со счета не снимались, а после этого снимались только по 100$ в месяц.

Составить разностное уравнение. Записать y[n] в общем виде, при условии, что 100$ в месяц – самая крупная выплата, которую можно гарантировать на вечные времена при заданной месячной процентной ставке r.

(Покажите, что годовая процентная ставка, заданная в неявной форме, составляет приблизительно 5,8%).

6. Рассмотреть модель процесса рыночного регулирования цены товара. Пусть поставка s[k] в момент времени k определяется ценой p[k-1] в момент времени k-1 (что отражает задержку на время производства).

Тогда по закону предложения:

s[k]=s0+bp[k-1]

Пусть также спрос d[k] в момент времени k определяется законом спроса:

d[k]=d0-ap[k]

(здесь a и b – константы, характеризующие чувствительность соответственно покупателей и изготовителей к изменению цены).

В предположении, что спрос равен предложению:

а. Составить разностное уравнение для цены

б. Показать, что разностное уравнение имеет частное решение

p[k]=(d0-s0)/(a+b)=CONST

в. В предположении, что начальная цена товара равна 100$, выведите выражение для p[k], если d0=4;s0=1;a=2;b=1.Поясните результат графически.

г. В предположении, что начальная цена товара равна 100$, выведите выражение для p[k], если d0=4;s0=1;a=1;b=2. Поясните результат графически.

7. Решить разностное уравнение:

v[n+2]-3v[n+1]+v[n]=0

Граничные условия:

v[0]=V;v[n]->0 при n->0

8. Решить разностное уравнение:

y[n+2]-1/6y[n+1]-1/6y[n]=2x[n]

x[n]=1, n>=0;

y[0]=0,y[1]=1.

9. Система описывается разностным уравнением:

y[n+2]=-y[n+1]+2y[n]+x[n+2]+x[n+1]

Найти передаточную характеристику, изобразить диаграмму нулей и полюсов

Определить реакцию системы на входной сигнал x[n]=3ⁿ.

10. Отклик системы на единичный отсчет представляет собой последовательность:

{0,2,-1.5,1;-0.5;0.25;0}. Определить реакцию системы на единичную «ступеньку».

11. Для систем, описываемых разностными уравнениями, выразить Y(z) через X(z).

    1. y[n+1]=x[n+1]-x[n]

    2. y[n]=x[0]+x[1]+…+x[n]

    3. y[n]=n*x[n]

    4. y[n+1]=2*x[n]

Какие из этих систем являются линейными? Какие из этих систем являются системами с постоянными параметрами?