3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ УСИЛЕНИИ ЗВУКА

Теория поглощения и усиления звука, о ко-торой мы рассказали, применима лишь в случае доста-точно малых амплитуд, так как она представляет собой линейную теорию. Основные результаты линейной тео-рии, как мы видели, таковы:

1) если на поверхности кристалла создать периоди-ческое упругое смещение, гармонически меняющееся со временем с частотой (о, то в кристалле будет распространяться звуковая волна, упругое смещение в которой будет изменяться по тому же закону;

2) интенсивность звука убывают (или нарастает в пространстве по экспоненциальному закону;

3) скорость звука есть постоянная величина, не за-висящая от его амплитуды.

В процессе усиления звука его интенсивность может возрасти на много порядков, так что начинают играть роль нелинейные явления. При этом возникает целый ряд новых эффектов. Происходит генерация второй и более высоких гармоник (а в ряде случаев и субгар-моник, частоты которых суть доли частоты м). Интен-сивность звука нарастает не экспоненциально, а по более сложному закону. Иными словами, коэффициент усиления начинает зависеть от интенсивности звука.

Наконец, при распространении интенсивного звука в кристалле возникает заметный звукоэлектрический ток. Звукоэлектрический эффект является простейшим нелинейным эффектом и уже давно исследуется теоре-тически и экспериментально. Мы обсудим этот эффект в специальном разделе.

Нужно сказать, что нелинейные эффекты могут наб-людаться не только при усилении звука. В настоящее время умеют генерировать звук такой интенсивности, .что нелинейные явления могут быть заметны уже в ре-жиме поглощения. При усилении, однако, они проявляются более ярко. Кроме того, учет их при усилении имеет принципиальный характер, так как именно они дол-жны рано или поздно ограничить усиление. Поэтому в данном разделе мы будем обсуждать случай усиления звука.

Если линейная теория усиления звука, которую мы рассматривали выше, сравнительно проста, то нелинейная теория гораздо сложнее. Поэтому здесь мы лишь качественно укажем, какие физические процессы ответ-ственны за нелинейные взаимодействия, и приведем ос-новные результаты нелинейной теории. Следует отме-тить, что нелинейная теория усиления звука еще дале-ка от своего завершения; существует ряд наблюдавших-ся на опыте явлений, которые пока не нашли объясне-ния. С другой стороны, некоторые предсказания нели-нейной теории еще ждут своей экспериментальной про-верки.

Вопрос о нелинейных эффектах является чрезвычай-но важным и с практической точки зрения, поскольку почти во всех акустоэлектронных системах работаю-щих в режиме усиления, эти эффекты проявляются. Кроме того, изучение нелинейного взаимодействия поз-волило узнать много нового о неравновесных процес-сах в полупроводниках. Поэтому в настоящее время ис-следование нелинейных акустических явлений идет широким фронтом.

Какого происхождения нелинейные взаимодейст-вия в пьезоэлектрических полупроводниках?

В диэлектрике единственный источник таких взаи-модействий -- нелинейность упругих свойств, которая проявляется в отклонении от закона Гука. Эта нели-нейность хорошо изучена. Она, например, приводит к возникновению высших гармоник и может вызвать об-разование волн с резкими фронтами. Такие волны по-добны волнам в воздухе, идущим от области взрыва, и называются ударными.

В пьезоэлектрических полупроводниках обычно го-раздо важнее другие нелинейные взаимодействия, свя-занные с электронами проводимости. Таких взаимодей-ствий можно указать несколько. Известно, что если приложить к полупроводнику электрическое поле, то потечет ток, плотность которого этому полю пропорциональна. Так дело обстоит, ес-ли поле не очень велико. Но для сильных полей про-порциональность нарушается. В таких случаях гово-рят, что наблюдаются отклонения от закона Ома. Поле, в котором начинают проявляться эти отклонения, зави-сит от температуры, и при низких температурах роль отклонений от закона Ома особенно важна. Однако при комнатной температуре они обычно несущественны. Нас же будет интересовать именно эта область темпе-ратур, поскольку при комнатных температурах выпол-нено наибольшее число экспериментов. Поэтому меха-низма нелинейности, связанного с отклонениями от за-кона Ома, мы рассматривать не будем.

Существует специфическое нелинейное взаимодействие в полупроводниках с примесными центрами, которые могут захватывать электроны проводимости, играя для них роль своеобразных «ловушек». Оно свя-зано с тем, что в таких полупроводниках отношение концентраций свободных электронов и захваченных в ловушки само зависит от полной электронной концент-рации.

Наконец, возможна так называемая концентраци-онная нелинейность. В ряде интересных случаев глав-ная роль принадлежит именно ей, поэтому о ней имеет смысл рассказать подробнее.

Мы уже говорили, что пьезоэлектрический потенци-ал, создаваемый звуковой волной, вызывает простран-ственное перераспределение электронного заряда, так что локальная электронная концентрация n отличает-ся от средней концентрации n₀. Вследствие этого и электропроводность в данной точке у = enм отличается от средней электропроводности у = en₀м.. Поскольку n` = n - n₀ зависит от амплитуды переменного электри-ческого поля, то возникает нелинейная связь между плотностью переменного тока проводимости j = уE и напряженностью переменного электрического поля Е.

Обсудим качественно, к каким эффектам приводит такая нелинейная связь. Предположим сначала, что интенсивность звука, который мы возбуждаем, доста-точно мала (смысл слов «достаточно мала» мы выяс-ним немного позже). Звуковая волна частоты щ распро-страняется от поверхности в глубь кристалла, затухая или усиливаясь, в зависимости от величины приложен-ного постоянного электрического поля. Переменное пьезоэлектрическое поле, сопровождающее волну, вы-зывает пространственное перераспределение электро-нов. Таким образом, в выражении для плотности тока появляются нелинейные члены. Они содержат вторую и нулевую гармоники. Последняя, т. е. постоянное сла-гаемое, представляет собой не что иное, как уже зна-комый нам звукоэлектрический ток.

Что же касается второй гармоники в токе, то она порождает вторую гармонику в электронной концент-рации и, следовательно, в электрическом поле. Послед-нее же благодаря электромеханической связи играет роль вынужденной силы, которая создает вторую гармонику в упругом смещении.

Каково отношение амплитуд второй и основной гар-моник? Эго отношение можно считать мерой нелинейности. Его легко оценить для случаев, когда картина распределения электронов в поле волны мало отли-чается от статической. Тогда относительное изменение концентрации в поле волны (n - n₀)/n₀ должно быть по-рядка eц/kT. Ведь именно таково отношение глубины «потенциальных ям», созданных звуковой волной, к характерной энергии электрона. Соответственно вынуж-дающая сила будет ~ чeц/kT по сравнению с силой, имеющей частоту основной гармоники. Однако важна не только величина силы, но и то, насколько она .попадает «в резонанс» с собственными волнами систе-мы. А именно амплитуда гармоники определяется отно-шением амплитуды вынуждающей силы чeц/kT к раз-ности 1/ щ - 1/ щ₂, которая тоже порядка ч (щ₂ - скорость свободной звуковой волны с частотой 2щ). Аналогичная ситуация возникает при раскачке маятника внешней си-лой--амплитуда колебаний пропорциональна не про-сто амплитуде вынуждающей силы, а отношению силы к расстройке относительно частоты собственных коле-баний. В результате

u₂/u ~ eц/kT (8)

Таким образом видно, что безразмерным парамет-ром, определяющим роль нелинейных эффектов, явля-ется отношение eц/kT. Оценка (8) применима, пока

u₂/u « 1. При таком условии амплитуда второй гармоники сравнительно мала. Амплитуды высших гармонии еще меньше: амплитуда n-й гармоники пропорциональна (eц/kT)². Следовательно, форма волны остается почти синусоидальной.

Что же происходит, когда eц = kT? Форма волны в этом случае заметно отличается от синусоидальной, а амплитуды большого числа высших гармоник имеют тот же порядок, что и основная.

Особенно сильно проявляются нелинейные эффекты при eц » kT. В этом случае все электроны расположе-ны на дне потенциальных ям, образованных пространственно-периодическим распределением пьезоэлектрического потенциала (рис. 8).

Электрические свойства пьезополупроводника оказываются в таком состоянии резко анизотропными. Средний ток в направлении распространения звука в широком интервале полей не зависит от поля и равен en₀щ (все электроны проводимости увлекаются вол-ной). В то же время проводимость полупроводника в поперечном направлении почти не изменяется в при-сутствии звука.

Рассмотрим теперь основной вопрос, ради которо-го мы начали обсуждать нелинейные эффекты,-- как будет вести себя коэффициент усиления в случае больших звуковых амплитуд.

Согласно линейной теории усиления звука, его ам-плитуда, как уже говорилось, возрастает беспредельно. Ясно, что реально усиление беспредельным быть не мо-жет, так как в конце концов око бы вызвало разруше-ние кристалла. В действительности, однако, этого обыч-но не происходит - начиная с некоторого значения амплитуды коэффициент усиления начинает убывать и обращается в нуль. При этом в кристалле образуется так .называемая стационарная волна -- периодическая волна несинусоидальной формы, которая распространяется, не усиливаясь и не затухая. . Как правило, одних только электронных эффектов для образования стационарных волн недостаточно. Эти (волны могут возникнуть лишь в результате совместно-то действия решеточного поглощения и электронного усиления. Если при определении значений дрейфового ноля звук малой амплитуды усиливается, значит элект-ронный коэффициент усиления превышает коэффици-ент решеточного поглощения. Но эти два коэффициен-та по-разному зависят от амплитуды: в большинстве представляющих интерес случаев электронное усиление убывает, а решеточное поглощение возрастает.

На первый взгляд может показаться, что поскольку мы не учитываем нелинейные упругие свойства кристал-ла, в теории не должна возникать нелинейность реше-точного поглощения. Однако это не так. Решеточное поглощение связано со взаимодействием звуковой вол-ны с тепловыми колебаниями решетки. Его можно описать, вводя в уравнения теории упругости эффективную силу, действующую на решетку. Структура этой силы аналогична структуре силы вязкого трения в жидко-сти -- она пропорциональна третьей производной сме-щения по координате. В связи с этим основной вклад в решеточное поглощение дают области резкой зави-симости смещения от координаты -- области вблизи дна потенциальных ям, где электроны сильно взаимо-действуют со звуком. С ростом амплитуды звука раз-мер этих областей, как мы уже видели (см. рис. 8), уменьшается -- излом становится более резким. Сле-довательно, решеточное поглощение возрастает. При некоторой амплитуде электронное усиление сравнива-ется с решеточным поглощением -- это и есть амплиту-да стационарной волны.

Исследование образования стационарных волн и зависимости их амплитуды от электрического поля и других параметров позволяют ответить на важный вопрос» .какое максимальное усиление звука можно получить описанным путем?.