2.3 Построение формальной математической модели автоматизации

Наша задача - построить формальную математическую модель динамики парового котла по газовому тракту. Для этого нам нужно показать динамику изменения температуры T в печи над «перевалом» при изменении количества топлива, подаваемого в газовую горелку, в формальном виде, а именно - в виде передаточной функции.

Передаточной функцией системы (или элемента) называется отношение преобразованной по Лапласу выходной величины системы к преобразованному по Лапласу изображению входной величины.

Передаточная функция системы получается из Лапласова преобразования левой и правой частей соответствующего дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях (при t<0 система находится в состоянии покоя).

Таким образом, передаточная функция определяется как отношение

В дальнейшем для упрощения формы записи будем x(p) обозначать как x. Если дифференциальное уравнение системы выражено в виде

,

где x_вых=x_вых(t), x_вх=x_вх(t), то вместо обычной формы записи производных dx/dt, d²x/dt² часто пользуются символическими обозначениями:

и т.д.

Множитель p в степени k обозначает лишь запись операции, которая должна быть проделана над функцией x, а именно от выражения, содержащего множитель p^k должна быть взята k-я производная по времени. Такая форма записи называется операторной и вводится здесь только для упрощения.

Учитывая это, дифференциальное уравнение можно представить в виде:

Отношение функции от оператора p, стоящей множителем при x_вх, к функции от p, стоящей при x_вых, и будет передаточной функцией системы:

Здесь x_вых= x_вых(p), x_вх= x_вх(p).

Построим кривую разгона для парового котла по газовому тракту. Для этого проведём эксперимент. Увеличим количество газа, подаваемого в горелку, на 0,2 м³/мин.

Рисунок 2.4 - График изменения количества подаваемого топлива, в м³/мин

Температура в печи над перевалом начнёт повышаться и со временем поднимется на 10°С.

Рисунок 2.5 - График изменения температуры над перевалом, в

Кривая на рисунке и является кривой разгона системы. Время здесь задано в минутах, температура - в градусах Цельсия.

Для удобства дальнейших расчётов приведём величины возмущающего воздействия (изменения количество топлива) и отклонения значения регулируемой величины (температуры) в безразмерный вид.

- приведённое к единице возмущающее воздействие (изменение количества газа) в безразмерном виде.

В нашем случае . Получим:

,

.

- приведённое к единице отклонение регулируемой величины (температуры над перевалом) в безразмерном виде.

. На рисунке 3 приведен график изменения температуры над перевалом в безразмерном виде.

Рисунок 2.6 - График изменения температуры над перевалом по времени в безразмерном виде

Передаточную функцию мы также будем искать в безразмерном виде:

Для того, чтобы перейти потом к передаточной функции в размерном виде, достаточно будет умножить нашу передаточную функцию на .

Метод площадей М.П. Симою позволяет определить передаточную функцию системы по её кривой разгона и состоит в том, чтобы найти неизвестные коефициенты а₁...а_n, b₁…b_m, используя для этого следующую систему уравнений:

.

В этой системе i=m+n и для всех i>n a_i=0, а для всех i>m b_i=0.

Входящие в уравнения коефициенты F₁,F₂,…,F_n вычисляются по следующим формулам:

;

;

, и т.д.

где .

Обычно для определения передаточной функции достаточно вычислить 3 коефициента, поэтому вычисляют 3 «площади» F₁,F₂,F₃. Также в практике мы имеем дело не с непрерывными функциями, а с дискретными значениями - результатами эксперимента. Поэтому коефициенты F₁, F₂, F₃ расчитываются по приближённым формулам:

Так как паровой котёл является объектом с самовыравниванием и транспортным запаздыванием, то вычисляем коэффициенты таким образом:

1. Определяем по графику заданной кривой разгона запаздывание как время, в течение которого функция от до не превышает . В нашей системе .

2. Определяем передаточную функцию объекта как произведение двух передаточных функций: , соответствующей запаздыванию, и , соответствующей функции , для которой за начало отсчёта принято время

Рисунок 2.7 - График изменения температуры над перевалом по времени в размерном виде с началом отсчёта в

Рисунок 2.8 - График изменения температуры над перевалом по времени в безразмерном виде с началом отсчёта в

3. Далее определим передаточную функцию для кривой разгона T₁.

3.1. Разбиваем ось абсцисс кривой разгона на отрезки с интервалом , исходя из условия, что на протяжении всего графика функция T в пределах мало отличается от прямой.

3.2. Значения в конце каждого интервала делим на , и получившееся значение (изменение температуры в печи над перевалом в безразмерном виде) заносим в таблицу 2.1.

Таблица 2.1

3.3. Определяем площади F₁, F₂, F₃. Для этого мы выполняем следующее: